Собственные векторы и собственные значения матрицы

Вектор (матрица-столбец) X называется собственным вектором матрицы A, если существует такое число , что

(1.6.1)

Число при этом называется собственным значением матрицы A, соответствующим вектору X.

Равенство (1.6.1) можно записать в виде или

(1.6.2)

Полученное матричное уравнение представим в виде однородной системы линейных уравнений

(1.6.3)

Эта однородная система всегда имеет нулевое решение X=(0,0,…,0). Чтобы получить ненулевое решение необходимо найти собственные значения матрицы A из решения характеристического уравнения

(1.6.4)

и с каждым из них решить однородную систему (1.6.3).

Пример 1.6.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение: составляем характеристическое уравнение

или

и находим собственные значения матрицы A.

1) Для собственного значения однородная система (1.6.3) имеет вид

или

Полученная система эквивалентна одному уравнению и имеет множество решений вида или - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

2) Для собственного значения однородная система (1.6.3) имеет вид

или

Полученная система эквивалентна одному уравнению и имеет множество решений вида или - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

Ответ: 1) - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению , 2) - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .

Задача 1. Найти собственные векторы и собственные значения матриц