2015-10-22
1495
Вектор (матрица-столбец) X называется собственным вектором матрицы A, если существует такое число 
, что
(1.6.1)
Число при этом называется собственным значением матрицы A, соответствующим вектору X.
Равенство (1.6.1) можно записать в виде 
или
(1.6.2)
Полученное матричное уравнение представим в виде однородной системы линейных уравнений
(1.6.3)
Эта однородная система всегда имеет нулевое решение X=(0,0,…,0). Чтобы получить ненулевое решение необходимо найти собственные значения матрицы A из решения характеристического уравнения
(1.6.4)
и с каждым из них решить однородную систему (1.6.3).
Пример 1.6.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
Решение: составляем характеристическое уравнение
или 
и находим собственные значения матрицы A.
1) Для собственного значения 
однородная система (1.6.3) имеет вид
или 
Полученная система эквивалентна одному уравнению 
и имеет множество решений вида 
или 
- собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .
2) Для собственного значения 
однородная система (1.6.3) имеет вид
или 
Полученная система эквивалентна одному уравнению 
и имеет множество решений вида 
или 
- собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .
Ответ: 1) - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению , 2) - собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .
Задача 1. Найти собственные векторы и собственные значения матриц
