Анализ и синтез как инструменты исследования сложных объектов (на примере)

Математические модели: определение, назначение, свойства, примеры математических моделей, классификация

Моделировaние это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Модель – это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий возможность изучения некоторых свойств оригинала.

По признаку назначения выделяют теоретические и прикладные модели. Теоретические модели предназначены для изучения общих закономерностей и свойств рассматриваемой системы. Прикладные модели дают возможность определять и оценивать параметры

функционирования конкретных объектов и формулировать

рекомендации для принятия практических хозяйственных решений.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Модель считается адекватной, если отражаются исследуемые свойства с приемлемой точностью.

Пример: полёт мяча – модель, заменяем мяч материальной точкой – получаем физическую модель, описываем движение мяча формулами – получаем математическую модель.

Классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств:

-линейные или нелинейные модели

-сосредоточенные или распределённые системы

-детерминированные или стохастические

-статические или динамические

-дискретные или непрерывные

Анализ и синтез как инструменты исследования сложных объектов (на примере)

Анализ и синтез - основные методы познания. Сами понятия "система", "комплекс" предполагают разложение их на элементы, части, которые образуют целое. Анализ - исследовательский метод, состоящий в том, что объект исследования, рассматриваемый как система, мысленно или практически расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения и т.п.) для изучения каждого из них в отдельности и выявления их роли и места в системе. Синтез - исследовательский метод, имеющий целью объединить отдельные части изучаемой системы, ее элементы в единую систему.

Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем. В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в "обратном направлении", т. е. от неизвестного, от того, что необходимо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное. В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.

Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа "размышлении в обратном направлении" от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач. Что же понимают под "элементарными задачами"? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шаг поиска), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.

Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем больший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас "элементарными" в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем меньше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элементарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.

Подход к решению задач, состоящий в сведении задач к совокупности подзадач, находит широкое применение в практике решения не только задач на доказательство.

Приведем в качестве примера арифметическую задачу для IV класса: "В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. Первая бригада собрала по 30 ц, вторая по 26 ц с гектара. Продано государству 5500 т с первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в семенной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?"

Обычно анализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, доведенный до элементарных задач. Здесь элементарной считается задача, решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (т. е. элементарной считается и задача, решение которой находится среди данных, например: "Сколько зерна продано государству с первого участка?").

Возможен и иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осуществляется последовательным решением подзадач в обратном порядке.

Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются аналогия, обобщение и конкретизация.