Методы расчёта сводных характеристик выборки

Условные варианты

Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т.е. в виде вариационного ряда.

Равноотстоящими называются варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью.

Условными называются варианты, определяемые равенством

,

где С – ложный нуль (новое начало отсчёта); - шаг, т.е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).

Покажем, что если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом то условные варианты есть целые числа. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например. Тогда, т.к. - целые числа, то их разность - также целое число.

Начальные и центральные теоретические моменты

Начальным теоретическим моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины и обозначается:

Для непрерывной случайной величины

В частности,,. Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать так:.

Центральным теоретическим моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величины и обозначается

.

Для непрерывной случайной величины.

В частности,.

Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты

Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствующих теоретических моментов.

Обычным эмпирическим моментом порядка называется среднее значение k -ых степеней разностей и обозначается:

,

где – наблюдаемая варианта, - ложный нуль, - частота варианты,.

Начальным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка при и обозначается:

.

В частности,.

Центральным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка при и обозначается:

.

В частности,.

Легко выразить центральные моменты через обычные, например,

2.

Условные эмпирические моменты

Вычисление центральных моментов требует довольно громоздких вычислений. Чтобы упростить расчёты, заменяют первоначальные варианты условными.

Условным эмпирическим моментом порядка, называется начальный момент порядка, вычисленный для условных вариант:

В частности, отсюда

.

Выразим обычные моменты через условные:, откуда

Найдя же обычные моменты, можно найти центральные моменты:.