Кручение бруса круглого поперечного сечения. Напряжение и деформация при кручении. Определение максимальных касательных напряжений

Кручение – такой вид нагружения, когда в попереч.сечениях бруса возникает только крутящий момент. Рассмотрим консольный брус, на который действует вращающий момент Т. Допущения: поперечное сечение плоское остается таким и после деформации; поперечное сечение было и остается перпендикулярным; расстояние между рассматриваемыми сечениями остается постоянным; радиус круглого поперечного сечения – постоянный.

Для фиксации положения всех точек проводят риску. Начинаем нагружать. а1 – новое положение после кручения, γ – угол сдвига, φ – полный угол закручивания. Всё основано на малых деформациях. Рассмотрим элементарный участок бруса dx. Деформация, приходящаяся на ед. длины (относительный угол закручивания): φ₀=dφ/dx. Из треугольников b₁a₁a₂ и a₁a₂0: a₁a₂=γ·dx=r·dφ; γ=r·dφ/dx=rφ₀.Из закона Гука: τ=Gγ. Закон Гука для сдвига: τ=Grφ₀. Мax напряжение возникает на максимально удаленных слоях поперечного сечения (эпюра тау). τ_ρ=Gρφ₀(1). Поэтому делают пустотелые конструкции, т.к. сердцевина не работает.

Установим связь между крутящим моментом Мк, деформацией φ₀ и касательным напряжением τ: относительно т.О dМк=τ·dS·ρ=Gφ₀ρdSρ= Gφ₀ρ²dS; Мк=Gφ_0(S)∫ρ²dS. Момент инерции сечения полярный: Ip=_(S)∫ρ²dS. Мк=Gφ₀Ip(2), φ₀=Мк/GIp, где GIp – жесткость поперечного сечения при кручении. Полный угол закручивания: φ=Мкl/GIp. (1)->(2) Мк=G(τ_ρ/Gρ)Ip, τ_max=М_кr/Ip, где Ip/r_max=Wp=πd³/16 – полярный момент сопротивления поперечного сечения. Условие прочности при кручении: τ_max≤ [τ].