Моменты инерции сечения. Вычисление моментов инерции брусьев прямоугольного и круглого сечений

Представим, что сечение разделено на множество элементарных площадок dA, координаты которых x и y. Моменты инерции сечения относительно осей x и y: Iх=_(А)∫у²dА, Iу=_(А)∫х²dА. Центробежный момент инерции: Iху=_(А)∫хуdА. Зависимость между осевыми и полярными моментами инерции: Iр=Iх+Iу - сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей. Центральный момент инерции – момент относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения.

Прямоугольное сечение имеет 2 оси симметрии, а главные центральные оси Сx и Cy проходят через середины параллельных сторон. Главный центральный момент инерции относительно оси x: Iх=_(А)∫у²dА. Элементарную площадка dA - полоска во всю ширину сечения толщиной dy, значит dA=b*dy. Проинтегрировав по всей площади, т.е. в пределах изменения ординаты y от –h/2 до +h/2, получим: Iх=bh³/12. Аналогично относительно оси y:

Круглое сечение. Для круга главные центральные моменты инерции относительно осей x и y равны между собой: Iх=Iу. Из равенства Iр=Iх+Iу получаем Iр=2Iх=2Iу, I=Ix=Iy=Ip/2, где Iр= πd⁴/32. I=πd⁴/64.