Математические модели местности

Математические связи между исходными точками цифровых моде­лей описываются линейными либо нелинейными (степенными) зависи­мостями. В первом случае связь между смежными точками модели опи­сывается уравнениями плоскостей, проходящими через каждые три

смежные точки модели, во втором — криволинейными поверхностями разного порядка, и, таким образом, рельеф местности задается либо мно­жеством пересекающихся между собой плоскостей, либо поверхностей различной кривизны.

Решение наиболее актуальной задачи при математическом моделиро­вании рельефа и инженерно-геологического строения местности заклю­чается в определении высот точек местности, а также уровней грунтовых вод и соответствующих геологических напластований в пикетных и плю­совых точках по оси запроектированных вариантов трассы и на попереч­никах.

Подавляющее число регулярных и нерегулярных ЦММ предполага­ют при последующем математическом моделировании линейную интер­поляцию высот между смежными точками модели.

Задача определения высот точек трассы, уровней грунтовых вод и по­верхностей геологических напластований сводится к нахождению в каж­дом случае тех трех смежных исходных точек модели, между которыми попадет соответствующая искомая точка трассы, в нахождении коэффи­циентов уравнения плоскости, проходящей через эти три точки, и нако­нец, в определении по полученному уравнению искомой высоты (рис. 5.4).

Если искомая точка трассы (например^ПК 20) попадает между смеж­ными исходными точками ЦММ с номерами/, к и /, то уравнение искомой плоскости в общем виде может быть представлено:

Я = АХ + ВУ + С. (5.7)

В уравнении (5.7) известны проектные координаты Хи V точки трас­сы (например, ПК 20), высоту которой нужно определить, но не известны коэффициенты А, В и С уравнения плоскости, проходящей через исход­ные точки у, к и / цифровой модели.

Если в уравнение (5.7) подставить известные координаты трех исход­ных точек цифровой модели, то получим три уравнения, в которых не из­вестны только три коэффициента А, В и С:

Щ = Аху + Вуу + С;

Н_к = Ах_к + Вуь + С; (5.8)

Я, = Ах\ + Ву\ + С.

Система уравнений (5.8) решается в матричной форме или методом «прогонки», в результате чего определяют неизвестные коэффициенты Л, В и С уравнения (5.7), подставив в которое проектные координаты X и У искомой точки трассы, определяют ее высоту Я.

Наиболее универсальными являются статистические ЦММ (5.6), ма­тематическая реализация которых заключается в использовании метода

Рис. 5.4. Линейное математическое Рис. 5.5. Математическое моделирование