Арифметическое среднее

Если выполнен ряд равноточных измерений одной и той же величины (/ь /г,..., /_п) и нет оснований для того, чтобы отдавать предпочтение одно­му из них, то, согласно последнему свойству случайных погрешностей, за окончательное значение измеренной величины следует принять среднее арифметическое результатов всех измерений:

-_ 4Н+-Ч -М (6-3)

П п

В формуле (6.3) сумма в числителе обозначена квадратными скобка­ми, как это принято в теории погрешностей по Гауссу.

, Поскольку X есть истинное значение измеряемой величины, можно вычислить ряд соответствующих абсолютных погрешностей измерений:

А, =**-/!; Д₂=*-/₂;...; Ь_п=Х-1_п. (6.4)

Сложив правые и левые части уравнений (6.4), получим

[Д] = иДГ-И, 64

Откуда

Х=Ш + №1, (6-5)

П п

Как следует из формулы (6.5), с увеличением числа измерений ^-^

п

Будет стремиться к нулю и, следовательно, при бесконечно большом чис-

ле измерений средняя арифметическая величина Ш _будет равна истинно-

п

му значению X.

Поскольку на практике число измерений все же ограничено, то сред­нее арифметическое х будет несколько отличаться от истинного значения измеряемой величины Х₉ однако при всяком п арифметическое среднее х считают более надежным значением измеряемой величины.

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ. ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Для оценки степени точности ряда измерений одной и той же величи­ны недостаточно знать арифметическое среднее погрешностей измере­ний, которое не является исчерпывающим показателем качества измери­тельных работ. Это связано прежде всего с тем, что при определении арифметического среднего в ряде измерений может быть не отражено на­личие сравнительно крупных погрешностей разных знаков, поскольку последние взаимно компенсируются.

В связи с этим Гаусс предложил критерий оценки точности измере­ний, не зависящий от знаков отдельных сравнительно крупных погреш­ностей ряда — среднюю квадратическую погрешность измерений. Сред­няя квадратическая погрешность измерений —это корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей:

[А²]
^{т =} ^— '. (6-6)

Поскольку истинное значение измеряемой величины X не известно, то среднюю квадратическую погрешность т вычисляют по уклонениям V), отдельных результатов измерений /, от арифметического среднего х:

о, = /,-*.

Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратиче­скую погрешность определяют по формуле Бесселя:

з э-з ⁶⁵

, !&] (6.7)

^{т = ±}л —" • \п-\