Общее арифметическое среднее и его средняя квадратическая погрешность

Общее арифметическое среднее для неравноточных измерений мо­жет быть определено по выражению:

-_ 1₁р+1₂р₂+-+1_пр_п _[1р] (6.19)

/?,+/?₂+...+/?„ [р]

Это выражение для определения значения измеренной величины, по­лученное из неравноточных измерений по весам, называют весовым сред­ним или общим арифметическим средним.

Таким образом, общее арифметическое среднее неравноточных из­мерений равно сумме произведений каждого измерения на его вес, разде­ленной на сумму весов.

Из формулы (6.19) легко установить, что прир\ =рг =... =р„, т. е. ког­да измерения равноточные, последняя превращается в простое арифмети­ческое среднее (6.3).

При сравнении между собой рядов неравноточных измерений для каждого ряда определяют среднюю квадратическую погрешность изме­рения, вес которого приводят к единице ц:

т² 1 ' откуда

\1 = ту[р. (6.20)

Если 1\, /₂,..., /„ — результаты неравноточных измерений какой-либо величины с весами, соответственно — р\, р2,—,р_п и погрешностями А_ь А₂,..., Д„, то из формулы (6.2М следует, что средняя квадратическая по­грешность единицы веса в ^р раз больше средней квадратической по­грешности измерения, вес которого равен р.

На основании соотношения (6.20) можно привести ряд погрешностей неравноточных измерений к ряду погрешностей одинакового веса, равно­го единице: &\<>[р_х, А_2Л//^,..., А_лЛ/^. Естественно, что этот ряд обладает всеми свойствами случайных равноточных погрешностей, поэтому, заме­нив абсолютные погрешности А на уклонения V к нему можно применить уравнение Бесселя (6.7):

где V — уклонения результатов отдельных измерений от общего арифме­тического среднего.

Если обозначить общее арифметическое среднее через А/о, вес которо­го равен [р], то на основании соотношения (6.20) можно записать:

^_₌\р\

М\ 1 '

Откуда окончательно получим

м —У- <⁶-²²)

^1У1о ~ I»

Ш

т. е. средняя квадратическая погрешность общего арифметического сред­него равна отношению средней квадратической погрешности неравно­точных измерений одинакового веса, равного единице, к корню квадрат­ному из веса общего арифметического среднего.