Случайные погрешности и промахи

Случайные погрешности вызываются неконтролируемыми, изменяющи­мися от опыта к опыту причинами. Они появляются при совместном действии очень большого числа независимых причин, каждая из которых оказывает ма­лое влияние на результат измерения, так что только в совокупности эти причи­ны дают заметный эффект. При этом каждая из влияющих величин может из­меняться закономерным образом, но если эти законы для разных величин раз­личны, то суммарная ошибка (величина и знак) будет изменяться от опыта к опыту случайно.

Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной вероятностью вычислить дейст­вительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.

Основу теории случайных ошибок составляют предположения о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто; большие погрешности встреча­ются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с рос­том ее величины); при бесконечно большом числе измерений истинное значе­ние измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех ре­зультатов измерений, а появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Аналитическое выражение закона:

; (5)

где х, - результат отдельного измерения;

х - математическое ожидание значения измеряемой величины (сред­нее арифметическое по результатам серии измерений);

f(x) — плотность вероятности появления случайной ошибки;

∆x_i - отклонение результата i-того измерения от математиче­ского ожидания (от среднего арифметического); d - среднее квадратичное отклонение.

(6)

где n - число измерений.

Кривая нормального распределения описывает также и распределение ошибок (погрешностей). Если перенести в начало координат точку соответст­вующую х = Xист(рисунок 1), тогда по оси абсцисс вместо значений х будут от­ложены значения ошибок ∆x, а по оси ординат f(х) - плотность вероятности по­явления случайной ошибки ∆x.. Кривая распределения ошибок характеризует точность эксперимента. Если кривая имеет вид острого пика около ∆x =0, по обе стороны от которого наблюдается резкий спад, то эксперимент имеет высо­кую точность, (большие ошибки встречаются редко); большая ширина пика указывает на наличие существенных случайных ошибок. Отсюда следует, что величина dоднозначно характеризует точность измерений, и с её помощью можно оценить погрешности. Чем меньше d, тем уже и круче кривая плотно­сти вероятности, и тем больше преобладают малые случайные погрешности, при больших dбольшие случайные погрешности встречаются значительно чаще.

Величина dзависит не только от класса точности применяемых средств измерения, но также и от используемой методики измерения, и квалификации экспериментатора. В случае правильного выбора и соблюдения методики изме­рений, достаточной квалификации экспериментатора, меньшую величину по­грешностей обеспечит применение более точных средств измерения.

Рисунок 1 - Распределение ошибок в экспериментах.

В качестве окончательного результата серии из n измерений выбирается, как уже говорилось среднее арифметическое значение.

(7)

Значение среднего арифметического будет также являться случайной ве­личиной. Ясно, что величина х будет являться лучшей оценкой для Xистчем результат единичного замера.

Распределение величины хпри n измерениях, как показывает расчет, в √dраз уже, чем для х_i,. Если распределение х, подчиняется нормальному закону распределения, то и распределение величины хтоже нормальное. Оно описы­вается формулой (5) с заменой уна

(8)

Теория ошибок позволяет оценить точность и надежность измерения при данном количестве замеров или определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую (заданную) точность и надежность измерений. И наряду с этим исключить грубые ошибки - промахи ряда измерений.