Этой формулой и пользуются на практике для вычисления величины средней квадратической погрешности измерений

Анализ кривой нормального распределения Гаусса (см. рис. 6.1) по­казывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

больше средней квадратической т в 32 случаях из 100;

больше удвоенной средней квадратической 2т в 5 случаях из 100;

больше утроенной средней квадратической Ът в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную сред-нюю квадратическую погрешность считают предельной'.

А_пр = Зш. (6.8)

В качестве предельной часто принимают среднюю квадратическую погрешность, равную А_пр = 2,5т, с вероятностью ошибки,равной порядка 1%.

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ СУММЫ ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрим функцию, представляющую собой алгебраическую сум­му двух величин:

2 = X ± у, (6.9)

где х и у — независимые слагаемые.

Случайные погрешности слагаемых и их суммы при однократном из­мерении обозначим соответственно Ах, Ау и Дг, тогда

2 + Аг = (х + Ах) ± (у + Ау),

Откуда

А2 = Ах ± Ау. (6.10)

Если каждое слагаемое было измерено п раз, то, написав п соотноше­ний типа (6.10) и возведя каждое в квадрат, получим п выражений:

А*;² = Ах<² + А^² ± 2Ах, Ау, (6.11)

Сложив левые и правые части п таких уравнений и разделив затем обе части равенства на и, получим:

[А2²]_[Ах²]^[Ау²]_±2 [АхАу] ^ (6.12)

п п п п

где [ДхАу] есть сумма произведений случайных погрешностей, которая согласно четвертому свойству случайных погрешностей стремится к ну­лю при значительном числе измерений. Тогда, отбросив последнее слага­емое равенства (6.12), окончательно получим:

[А^] ₌ [Ах^] ₊ [^] (6.13)

п п п

В соответствии с формулой (6.6) можно написать:

т² = т² + т², (6.14)

где т_ъ, т_х, т_у — средние квадратические погрешности функции и аргу­ментов.

По аналогии для алгебраической суммы п независимых величин

2 = Х\ ± Х₂ ±... ±Х_п,

можно записать

т² = т_х² + т₂² ±...±/я_п², (6.15)

т. е. квадрат средней квадратической погрешности алгебраической сум­мы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешно­стей слагаемых.

В частном случае, когда т\ = т^ -... = т_п = т, формула (6.15) примет вид:

т_г = ту[п, (6.16)

т. е. средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равно­точных измерении в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Например, если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то сред­няя квадратическая погрешность угловых измерений составит т_р =30"л/9=±1,5'.

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО

Арифметическое среднее определятся выражением (6.3), которое можно представить как:

_ 1, 1. 1,

П п п

где----- некоторое постоянное число. Если среднюю квадратическую по-

п