Расчет элементов металлоконструкций на основные виды

Сопротивления

Элементы металлических конструкций в процессе эксплуатации подвергаются действию растяжения, сжатия, изгиба, кручении и различных комбинаций этих воздействий. Рассмотрим методы расчета на прочность элементов металлических конструкций т.е. методы расчета по первому предельному состоянию.

Центрально-сжатые и центрально - растянутые элементы. Ранее для вычисления напряжений в этом случае была выведена формула (3.1). Эту формулу легко превратить в соотношение для проверки прочности.

σ = N /A_n ≤ R γ_c, (4.1)

где А_n - площадь поперечного сечения элемента за вычетом ослаблений; N - усилие от действия расчетных нагрузок; γ_c - коэффициент условий работы; R - расчетное сопротивление. Если расчет ведется по упругой стадии, R = R_y. Если расчет ведется для условий, когда возможна эксплуатация конструкции и после достижения материалом напряжений текучести, в качестве расчетного сопротивления выбирается максимальное значение из величин R_y и R_u / γ_u. Здесь R_y и R _u - расчетные сопротивления материала, соотвественно, по пределу текучести и по временному сопротивлению;

γ_u = 1,3 - коэффициент надежности по материалу при расчете конструкций по временному сопротивлению.

Относительно разницы между растяжением и сжатием. Формула (4.1) для растяжения абсолютно корректна. Что же касается сжатия, то это соотношение справедливо только для коротких стержней. Известно, что стержни при сжатии, до исчерпания прочности самого сечения, могут потерять устойчивость, см. рис.4.1. Следует заметить, что хотя это напряженное состояние называется «центральным сжатием» на практике оно никогда не реализуется. Происходит это по многим причинам. Во-первых, нагрузка никогда не может быть приложена точно в центре сечения, так как все конструктивные элементы выполняются с допусками. Во-вторых, материал в сечении и по длине стержня всегда неоднороден. Эти и другие причины приводят к тому, что сжимающая сила оказывается всегда приложенной с некоторым эксцентриситетом к центру тяжести поперечного сечения и этот эксцентриситет создает дополнительный изгибающий момент, приводящий в итоге к потере устойчивости.

Рис. 4.1. Работа центрально сжатого стержня:

а - стержень и его расчетная схема, б – зависимость между нагрузкой и прогибом стержня,

в - сжатие короткого стержня.

Такое напряженное состояние стержня при действии сжимающей силы называется продольным изгибом. Поэтому формула проверки прочности стержня при сжатии будет

выглядеть так: σ = N / (φ A) ≤ R_y γ_c, (4.2)

где: φ - коэффициент продольного изгиба; A – площадь поперечного сечения стержня. Коэффициент φ всегда меньше 1 и зависит от гибкости стержня λ. Гибкость стержня зависит от способа его закрепления по концам и от геометрических характеристик сечения: λ = / i, (4.3)

где = μ - расчетная длина стержня; μ - коэффициент расчетной длины;

i = - радиус инерции поперечного сечения стержня; J - момент инерции сечения в плоскости изгиба (в плоскости потери устойчивости). Предельные гибкости конструктивных элементов оговорены в соответствующих нормах по проектированию.

При действии изгиба производится проверка по нормальным и касательным напряжениям. При расчете по упругой стадии проверка нормальных напряжений производится по соотношению преобразованному из соотношения (3.2):

σ_max = M / W_n,min ≤ R γ_c, (4.4)

где M - расчетный изгибающий момент; W_n,min - момент сопротивления сечения

с учетом ослаблений; σ_max - напряжение в крайних волокнах поперечного сечения.

Касательные напряжения проверяются на основании формулы Н.Г. Журавского:

τ = Q S / (J t) ≤ R_s γ_c, (4.5)

где Q - поперечная сила от действия расчетных нагрузок; S - статический момент сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси; J - момент инерции сечения относительно нейтральной оси; t - толщина стенки в плоскости сдвига; R_s - расчетное сопротивление металла сдвигу.

При действии изгибающих моментов в двух плоскостях (случай косого изгиба) проверка нормальных напряжений выполняется по соотношению:

σ_max = M_x / W_nx ± M_y / W_ny ≤ R_y γ_c, (4.6)

где M_x, M_y, W_nx, W_ny - изгибающие моменты и моменты сопротивления сечения относительно осей изгиба X и Y.

По мере роста нагрузки в сечении изгибаемого элемента могут развиваться пластические деформации. Развитие пластических деформаций в сечении изгибаемого элемента иллюстрируется эпюрами на рис. 4.2.

Рис.4.2. Изменение эпюры напряжений в изгибаемом элементе при развитии

пластических деформацйий в материале

а – в упругой стадии, б – в упруго-пластической, в – шарнир пластичности, г – при ограниченной пластичности

При проверке прочности с учетом пластических деформаций, формула получается из соотношения (4.4) заменой величины W_n на величину W_n,пл = C W_n.

σ_max = M / (c W_n) ≤ R_y γ_c, (4.7)

где коэффициент c учитывает увеличение момента сопротивления и определяется по нормам. Кроме того это соотношение разрешается применять только для случаев

когда τ ≤ 0,9 R_s. А проверка прочности на сдвиг в этом случае производится только в опорных сечениях разрезных балок, там где изгибающие моменты равны нулю. Для тавровых балок проверка производится при τ ≤ 0,5 R_s по соотношению

τ = Q / (t h) ≤ R_s γ_c, (4.8)

где t - толщина стенки; h - высота балки.

Для случая косого изгиба при τ ≤ 0,5 R_s проверка производится по соотношению:

M_x / (β c_x W_nx) ± M_y /(c_y W_ny ) ≤ R_y γ_c, (4.9)

где С_x и С_y коэффициенты зависящие от формы сечения; β - коэффициент меньший единицы и зависит от величины касательного напряжения τ. При работе элементов металлических конструкций возможны случаи сложного напряженного состояния когда совместно действуют изгиб и усилия растяжения или сжатия. В общем случае, когда действует осевая сила N и моменты в двух направлениях M_x и M_y предельную несущую способность проверяют по формуле:

[N/(A_n R_y Ύ_c)]ⁿ ± M_x/(c_x W_nx R_y γ_c) ± M_y/(c_yW_ny R_y γ_c) ≤ 1, (4.10 а)

где A_n, W_nx, W_ny - площадь и соответстующие моменты сопротивления нетто поперечного сечения стержня; С_x и С_y - коэффициенты, учитывающие увеличение несущей способности материала при развитии пластических деформаций; n - показатель степени. Три последние величины принимаются в соответстии с действующими нормами. Для конструкций работающих в упругой стадии и в случаях когда развитие пластических деформаций недопустимо, в проверочной формуле следует положить n = С_x = С_y= 1 и соотношение (4.10 ^a) перейдет в соотношение для проверки по упругой стадии работы материала при действии нормальной силы и изгиба в двух плоскостях:

N /A_n ± M_x / W_nx ± M_y / W_ny ≤ R_y γ_c, (4.10)

В случае действия сжимающей силы и изгиба в двух направлениях может также произойти потеря устойчивости и при этом необходимо произвести соответствующие проверки. Потеря устойчивости может произойти как в плоскости действия момента, так и из плоскости, это зависит от соотношения гибкостей стержня в этих плоскостях. Формула проверки устойчивости в этом случае аналогична формуле проверки для случая продольного изгиба: N / (φ_e A) ≤ R_y γ_c, (4.11)

Однако коэффициент потери устойчивости φ_e зависит в данном соотношении от приведенной гибкости и приведенного эксцентриситета m_ef. Способ вычисления этих величин приведен в нормах. Проверка на устойчивость из плоскости действия момента производится по формуле:

N / (c φ_y A) ≤ R_y γ_c, (4.12)

где С и φ_y определяются в соответствии с указаниями норм.

Лекция 5