Указания к решению задачи

Для расчетов водопропускных труб, мостовых переходов, подводных тоннельных пересечений, систем водоснабжения, водоотведения, водохранилищ и др. необходимо определять максимальный расход воды в реке заданной вероятности превышения Q_p%. Наиболее точно он может быть вычислен при наличии продолжительных гидрометрических наблюдений за стоком воды в створе гидротехнического сооружения.

В соответствии с требованиями [1] продолжительность периода наблюдений считается достаточной, если этот период является репрезентативным (представительным), а относительная средняя квадратическая ошибка расчетного значения гидрологической характеристики не превышает 20% (для максимального или минимального стока).

Оценка репрезентативности рассматриваемого ряда наблюдений проводится в тех случаях, когда продолжительность наблюдений составляет не менее 10…15 и не более 50…60 лет. Она состоит в построении и анализе разностных интегральных кривых стока, которые дают представление о циклических колебаниях стока за многолетний период. Для их построенияпо оси абсцисс графика (пример, рис.3) откладываются годы наблюдений, ординат – сумма отклонений модульных коэффициентов К_i от единицы, т.е. ∑(К_i – 1), где К_i = Q_i / Q_cр (Q_i – максимальный расход воды в i –ый год наблюдений, Q_cр – среднеарифметическое значение ряда наблюдений). Величины ординат определяют последовательным суммированием значений ∑(Кi – 1) за каждый год ряда наблюдений (пример, табл.2).

На построенном графике (рис. 3) выделяют фазы (группы) маловодных и многоводных лет. Репрезентативным рядом наблюдений считается такой ряд, который включает примерно одинаковое число фаз многоводных и маловодных лет, т.е. число подъемов и спадов разностной интегральной кривой стока, а также имеет примерно равную продолжительность многоводных и маловодных лет. Если ряд наблюдений недостаточно репрезентативный, необходимо удлинить его по рекам-аналогам с включением дополнительно многоводного или маловодного периода наблюдений (см. задачу 3). Если это невозможно, то целесообразно из рассматриваемого ряда исключить «лишнюю» фазу стока. При этом продолжительность «короткого» ряда должна оставаться достаточной, а средняя величина модульного коэффициента, рассчитанная для этого ряда, близка к единице.

Ряд гидрологических наблюдений может быть разбит на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить частоту появления в нем членов ряда.

Основной закономерностью гидрологического ряда является то, что члены ряда, по своей величине близкие к среднему арифметическому значению ряда, встречаются наиболее часто, т.е. вероятность их появления будет более высокая, чем величин, значительно отличающихся от среднего значения. Эта закономерность хорошо просматривается при построении гистограммы распределения повторяемости (частоты появления) наблюденных максимальных расходов воды (рис.1).

Для определения расчетных (вероятных) значений гидрологических характеристик в практике гидрологических расчетов используются интегральные кривые распределения повторяемости или ежегодного превышения (обеспеченности) значений рассматриваемой гидрологической характеристики. Обеспеченностью величиныгидрологической характеристики называется вероятность того, что данное её значение будет в дальнейшем превышено.

Они могут быть построены путем суммирования относительных частот появления этих значений в гидрологическом ряду, например, максимальных расходов воды (рис.2) или же в соответствии с указаниями к решению задачи 2.

Пример

Исходные данные:

Хронологический ряд максимальных расходов воды в реке А.

Для выбранного варианта расчетов из прил.1 берётся ряд максимальных расходов воды в реке А продолжительностью n=31:

459, 338, 185, 401, 293, 441, 378, 261, 389, 315, 526, 576, 385, 281, 418, 340, 450, 396, 311, 434, 374, 200, 346, 491, 472, 329, 302, 477, 245, 337, 228.

1. Расположим числа данного ряда в возрастающем порядке:

185, 200, 228, 245, 261, 281, 293, 302……………. 491, 526, 576.

2. Определим размах (амплитуду) колебаний максимальных расходов в ряду наблюдений:

Q = Q_max - Q_min = 576 – 185 = 391 м³/с.

3. Вычислим количество интервалов по эмпирической формуле:

k = 5 * ℓg n = 5 * ℓg 31 = 5 * 1.49 = 7.46.

Округлив значение до целого числа, примем k = 7.

4. Вычислим размер интервала с точностью до 0,1:

Δ Q = Q / k = 391 / 7 = 55.9 м³/с.

5. Найдем количество членов ряда n_i, входящих в каждый интервал (абсолютную частоту появления), и относительную частоту появления 100 * n_i / n, % (табл.1).

Например, во второй интервал – от 240,9 до 296,8 м³/с – входят 4 расхода из ряда наблюдений, т.е. абсолютная частота их появления в ряду наблюдений составляет n_i = 4, а относительная – 12,9%. Каждый расход включается в интервал только один раз. При определении границ последнего интервала максимальное значение расхода следует принять равным наибольшему числу из ряда наблюдений.

6. Построим гистограмму распределения частоты появления (повторяемости) максимальных расходов воды (рис. 1).

7. Проведем суммирование относительных частот, начиная от наибольшего расхода (снизу вверх), и определим вероятность превышения (обеспеченность) каждого интервала ряда наблюдений p_i = (∑ n_i / n) * 100,% (табл. 1).

8. Построим ступенчатый график и плавную кривую обеспеченности максимальных расходов воды, которая должна проходить через середины интервалов (рис. 2). По оси абсцисс откладываются обеспеченности от 0 до 100% (масштаб: 1 см – 5 или 10%), по оси ординат – интервалы максимальных расходов (масштаб: 1 интервал – 2 или 1 см).

n_i

Максимальные расходы воды, м³/с

Рис.1 Гистограмма максимальных расходов воды

Обеспеченность, %

Рис.2. Гистограмма и кривая обеспеченности

максимальных расходов воды

По кривой обеспеченности определим, что числу 576 в данном ряду соответствует обеспеченность (вероятность превышения)

p = 100% * 1 / 32 = 3,1 %.

Таблица 1

№№ интервалов	Интервал (Δ Qi), м3/с	ni	100* ni/n, %	Рi, %
	185 – 240,9 240,9 – 296,8 296,8 – 352,7 352,7 – 408,6 408,6 – 464,5 464,5 – 520,4 520,4 – 576		9,7 12,9 25,8 19,4 16,1 9,7 6,5	90,4 77,5 51,7 32,3 16,2 6,5
∑

9. Определим среднеарифметическое значение ряда по формуле:

Q _ср = ∑ Q_i / n = 11378 / 31 = 367 м³/с

где ∑ Q_i - сумма значений ряда, м³/с;

n =31 – число членов ряда.

Вычислим для каждого члена значения модульного коэффициента К _i

К_i = Q_i / Q _cр (1)

где – Q_i – максимальный расход воды в i –ый год наблюдений;

Q _cр – среднеарифметическое значение ряда наблюдений.

Последовательно просуммируем (нарастающим итогом) значения (К _i – 1) и по результатам расчетов (табл. 2) построим разностную интегральную кривую ∑ (К – 1 ) = f(T) для рассматриваемого хронологи-ческого ряда наблюдений (рис. 3). Для лучшего анализа проведем сглаживающую кривую.

На построенном сглаженном графике выделим фазы маловодных и многоводных лет. Количество маловодных фаз (спадов кривой) составило 3, многоводных (подъемов кривой) – 2. Продолжительность многоводных маловодных лет в периоде наблюдений (1972…2002 гг.) оказалось примерно равной.

Таким образом, можно считать рассматриваемый ряд наблюдений за стоком достаточно репрезентативным. Если бы наблюдения проводились, например, с 1982 по 2002 год, то ряд наблюдений оказался бы не репрезентативным, так как состоял бы в большей степени из многоводных лет. Средний модульный коэффициент К за этот период был бы равен 1,03, т.е. расчетные гидрологические характеристики стока оказались бы завышенными не менее чем на 3 %.

Таблица 2

Годы	Расход воды, Qi, м3/с	К = Qi/Q ср	(К – 1)	∑(К – 1)
		1,25 0,92 0,50 1,09 0,80 1,20 1,03 0,71 1,06 0,86 1,43 1,57 1,05 0,76 1,14 0,93 1,23 1,08 0,85 1,18 1,02 0,54 0,94 1,34 1,29 0,90 0,82 1,30 0,67 0,92 0,62	0,25 -0,08 -0,50 0,09 -0,20 0,20 0,03 -0,29 0,06 -0,14 0,43 0,57 0,05 -0,24 0,14 -0,07 0,23 0,08 -0,15 0,18 0,02 -0,46 -0,06 0,34 0,29 -0,10 -0,18 0,30 -0,33 -0,08 -0,38	0,25 0,17 -0.33 -0.24 -0.44 -0.24 -0.21 -0.50 -044 -0.58 -0.15 0.42 0.47 0.23 0.37 0.30 0.57 0.65 0.50 0.68 0.70 0.24 0.18 0.52 0.81 0.71 0.53 0.83 0.50 0.42 0,04
	∑Qi = 11378	………………… 1,03 (1982-2002)	---------------------+ ∑ = +3.26 - ∑ = - 3.25

	Σ (К-1)

Рис.3 Разностная интегральная кривая стока воды

Задача 2 (МТ, ВиВ)