double arrow

Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.


Отношение называется функцией или отображением из множества А в множество В, если и из (x,y1) є f, (x,y2) є f следует y1=y2. Если вместо выполняется , то f называется частичной функцией. Функция f из А в В обозначается через или . Если (x,y) є f, то пишем y=f(x) или . Функция называется разнозначной инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией если из условия, что выполняется х1≠х2, следует y1≠y2. Функция называется функцией из А на В или сюръекцией, если . Функция называется взаимно однозначным соответствием между множествами А и В или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно.

Биекция называется подстановкой.

Утверждения:

1) Если , , то

2) Если , то

3) Если f и g - инъекции, то f•g – инъекция.

Доказательство: Предположим противное, т.е. найдутся элементы x1, x2, y такие, что х1≠х2, (x1,y) є f•g и (x2,y) є f•g, т.е. g(f(x1))=y=g(f(x2)). В силу разнозначности f имеем f(x1)≠f(x2). Отсюда в силу разнозначности g получаем g(f(x1))≠g(f(x2)), а это противоречит предположению.

4) Если f,g – сюръекции, то f•g – сюръекция

Доказательство: Нужно доказать, что для любого с существует а такое, что f•g(a)=c. Т.к. g – сюръекция, то существует b, для которого g(b)=c, а т.к. f – сюръекция, то для любого b существует а такое, что f(a)=b. Тогда f•g(a)=g(f(a))=c

5) Если f и g – биекции, то f•g – биекция

6) Если , то

Функция называется последовательностью. Её можно представить в виде f(0)=b0, f(1)=b1,…, f(n)=bn.


Сейчас читают про: