Алгебраические системы: определение и примеры. Понятие полугруппы, моноида, группы; задание с помощью таблицы Кэли

Алгебраической системой A=<A,∑> называется пара, где А – непустое множество, носитель алгебраической системы; ∑ - сигнатура алгебраической системы, множество функциональных и предикатных символов с указанием их местности. Примеры: <ω, +⁽²⁾, •⁽²⁾, ≤⁽²⁾, 0⁽⁰⁾, 1⁽⁰⁾>; <R, +⁽²⁾, -⁽²⁾, e⁽⁰⁾>

Сигнатура ∑ называется функциональной (предикатной), если она не содержит предикатных (функциональных) символов. Система А называется алгеброй (моделью), если ее сигнатура функциональна (предикатна).

Группоид – алгебраическая система с одной двухместной операцией. Эта единственная операция часто обозначается символом •. Если А – конечное множество, то действия операции • можно задать квадратной таблицей, в которой для каждой пары записан результат действия. Такая таблица называется таблицей Кэли группоида А. (Что-то наподобие таблицы умножения).

Полугруппа – группоид, у которого операция • ассоциативна. Т.е. x•(y•z)=(x•y) •z/

Моноид – полугруппа, для которой существует элемент e называемый единицей, такой, что e•x=x•e=x.

Группа – моноид, в котором для любого элемента существует элемент , называемый обратным к x, такой, что x•x^-1=x^-1•x=e.

Группа называется коммутативной или абелевой, если x•y=y•x.