Конгруэнции, фактор-алгебры, теорема о гомоморфизме

Конгруэнцией на алгебре α=<A,∑> называется такое отношение эквивалентности , при котором для любого , любого n-местного символа , произвольных наборов , если a₁θb₁,…, a_nθb_n, то f(a₁,…, a_n)θf(b₁,…,b_n). Т.е. все операции согласованы с отношением эквивалентности.

Рассмотрим фактор-множество множества А по конгруэнции θ: . Определим на этом множестве алгебру сигнатуры ∑. Константе с алгебры А поставим в соответствие элемент θ(с), который в А/θ будет интерпретировать константный символ с. Если f – n-местный символ из ∑, то зададим на множестве А/θ действие функции f по правилу:

f(θ(x₁),…, θ(x_n))=θ(f(x₁,…, x_n)).

Убедимся, что для любых это определение корректно, т.е. не зависит от выбора представителей классов эквивалентности. Действительно, если θ(x_i)=θ(y_i), i=1,2,…,n, то x_iθy_i, откуда в силу свойства конгруэнции имеем f(x₁,…, x_n)θf(y₁,…, y_n), т.е. θ(f(x₁,…, x_n))=θ(f(y₁,…, y_n)).

Получившаяся алгебра α/θ=<A/θ,∑> называется фактор-алгеброй алгебры α по конгруэнции θ.

Очевидно, что отображение А→А/θ, при котором элементу ставится в соответствие класс θ(х), является эпиморфизмом алгебры α на фактор-алгебру α/θ. Этот эпиморфизм называется естественным гомоморфизмом.

Если φ: α→β – гомоморфизм алгебр, то множество оказывается конгруэнцией на алгебре α и называется ядром гомоморфизма φ.

Теорема о гомоморфизме: Если φ: α→β – эпиморфизм, ψ: α→α/Kerφ – естественный гомоморфизм, то существует изоморфизм χ: β→α/Kerφ такой, что φ•χ=ψ.

Доказательство: Положим χ(b)=ψ(a), где выбрано так, что b=φ(a) / Если b=φ(a’), то , откуда ψ(a)=ψ(a’). Следовательно, отображение χ определяется корректно. Равенство φ•χ=ψ очевидно. Из него вытекает, что χ – сюръекция. Непосредственно проверяется, что χ – гомоморфизм. Если χ(b)=χ(b’), то ψ(a)=ψ(a’), где b=φ(a), b’=φ(a’). Отсюда , следовательно b=b’, что доказывает возможную однозначность отображения χ. Т.к. сигнатура функциональна, из существования функции χ^-1 и того, что χ – гомоморфизм, следует, что χ является изоморфизмом.