double arrow

Средняя квадратическая погрешность функции


Измерения величин

В геодезии часто нужно определить точность не только самих измеренных величин, но и их функций. Например, горизонтальное проложение линии является функцией наклонности расстояния и угла наклона, площадь определяемая планиметром является функцией отсчетов по планиметру и т. д. Поэтому важно уметь вычислять средние квадратические погрешности функций. Рассмотрим некоторые виды функций.

1 Функция суммы двух аргументов

φ = Х + Y, (4.19)

где Х и Y – независимо измеренные величины.

Допустим, что каждая из этих величин измерялась n раз и каждое из измерений сопровождалось случайными погрешностями ΔХ и ΔY. Тогда и функция φ, вычисленная по формуле (4.19), будет иметь погрешность Δφ:

φ + Δφ = (X + ΔX) + (Y + ΔY) или Δφ = ΔХ + ΔY. (4.20)

Возведем равенство (4.20) в квадрат:

Δ = Δ + Δ + 2ΔX ΔY. (4.21)

Таких равенств может быть получено n. Сложив их и разделив на n, получим

] / n = [Δ ] / n + [Δ ] / n + 2[ΔXΔY] / n. (4.22)

На основании четвертого свойства случайных погрешностей величина [ΔX ΔY] как сумма случайных погрешностей будет стремиться к нулю. Тогда с учетом равенства (4.5) будем иметь:

m = m + m . (4.23)

Нетрудно убедиться, что формула (4.23) будет верна и для функции

φ = X –Y. (4.24)

Аналогично предыдущему можно доказать, что для функции суммы (разности) нескольких аргументов

φ = ±Х ± Y ± Z ± … ± U. (4.25)

Квадрат средней квадратической погрешности этой функции будет равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей аргументов:

m = m + m + m +…+ m . (4.26)

Если mX = mY = mZ = …=mU, а число измеренных величин X, Y, Z, …, U равно n, то

m = nm2 или mφ = m√ n, (4.27)

т. е. средняя квадратическая погрешность суммы равноточно измеренных величин в √n раз больше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

П р и м е р. Найти среднюю квадратическую погрешность суммы измеренных углов в четырехугольнике, если средняя квадратическая погрешность одного угла равна ±30''. По формуле (4.27) находим

__

mφ = ± 30'' √ 4 = ±60'' = 1'.

2Функция линейного вида

φ = КХ,

где К – постоянное число;

Х – аргумент, полученный из измерений.

Если Х будет измерен со случайной погрешностью ΔХ, то функция будет иметь случайную погрешность

Δφ = К ΔX. (4.29)

Измерив аргумент n раз, можно составить n уравнений (4.29), взять сумму их квадратов и разделить на n. После чего получим

] / n = K2 ] / n или m = K2 m , (4.30)

откуда

mφ = K mX . (4.31)

Аналогично предыдущему можно показать, что для функции

φ = ± K1X ± K2Y ± … ± KnU (4.32)

получим

Δφ = K1ΔX ± K2ΔY ± … ± KnΔU (4.33)

или

m = (K1mX)2 + (K2mY)2 + … + (KnmU)2. (4.34)

П р и м е р. Определить среднюю квадратическую погрешность M арифметической середины L, если средняя квадратическая погрешность отдельного измерения равна m. Напишем формулу (4.4) арифметической середины в следующем виде:

L = l1 / n + l2 / n + … + ln / n. (4.35)

Как видно, здесь можно применить формулу (4.34) для функции (4.35):

m = M 2 = (m1 / n)2 + (m2 / n)2 + … + (mn / n)2.

Учитывая, что измерения l1, l2,…, ln равноточные, т. е. m1 = m2 = … = mn, получим

M 2 = n(m / n)2 = m2 / n,

или __

M = m / √n , (4.36)

т. е. средняя квадратическая погрешность арифметической средины в √n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения.

3Функция общего вида

φ = f (X, Y, Z, … ,U), (4.37)

где X, Y, Z, … ,U – независимо измеренные величины.

С учетом случайных погрешностей функция (4.37) примет вид

φ + Δφ = f (X + ΔX; Y + ΔY ; Z + ΔZ ; …; U + ΔU). (4.38)

Разложив функцию (4.38) в ряд Тейлора и ограничившись только первыми степенями случайных погрешностей, получим функцию

Δφ = (∂f/∂x) ΔX + (∂f/∂y) ΔY + (∂f/∂z) ΔZ + … + (∂f/∂u) ΔU, (4.39)

где (∂f/∂x), (∂f/∂y), …, (∂f/∂u) – частные производные, которые для функции

(4.39) являются постоянными величинами.

Как видно, функция (4.39) аналогична функции (4.33). Следовательно, квадрат ее средней квадратической погрешности

= (∂f/∂x ∙ mX)2 + (∂f/∂y ∙ mY)2 + (∂f/∂z ∙ mZ)2 + … + (∂f/∂u ∙ mU)2. (4.40)

П р и м е р. В прямоугольнике измерены две стороны – Х = 200 м и Y = 100 м со средними квадратическими погрешностями mX = +0,20 м и mY = +0,10 м.

Определить площадь прямоугольника Р и ее среднюю квадратическую погрешность mP.

P = XY; ∂p/∂x = Y; ∂p/∂y = X ;

                   
   
     
       
 
 


= (∂p/∂x)2 + (∂p/∂y)2 = Y 2 + X2 =

____ = 1002 ∙ 0,202 + 2002 ∙ 0,102 = 800 м2;

Mp = √ 800 ≈ ±28 м2; Р = 200 × 100 = 20000 м2 ± 28 м2.


Сейчас читают про: