Формулы Гаусса и Бесселя

В теории погрешностей точность измерений характеризуется средней квадратической погрешностью, которая была введена знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом (1777–1855 гг.) и обозначается через m:

______________________ ______

m = ± √ (Δ₁² + Δ₂² +.. + Δ_n²) / n = ± √ [Δ²] / n, (4.5)

где Δ₁, Δ₂, …, Δ_n – случайные погрешности;

n – число измерений.

Средняя квадратическая погрешность является надежным критерием для оценки точности измерений. Она даже при небольшом числе измерений достаточно устойчива и хорошо отражает наличие крупных случайных ошибок, которые по существу и определяют качество измерений.

Формула (4.5) применена для вычисления средней квадратической погрешности, когда известно истинное значение измеряемой величины. Эти случаи в практике весьма редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую середину. Получим формулу для вычисления средней квадратической погрешности при помощи уклонения отдельных результатов от арифметической середины по так называемым вероятнейшим погрешностям V.

Пусть l₁, l₂, …, l_n – результаты равноточных измерений одной и той же величины, истинное значение которой Х, а арифметическая середина – L. Тогда можно вычислить n случайных или истинных погрешностей

Δ_i = l_i – X (4.6)

и n вероятнейших погрешностей

V_i = l_i – L. (4.7)

Сумма n равенству (4.7)

[V] = [l] – nL. (4.8)

Но, согласно равенству (4.4) nL = [l], поэтому

[V] = 0, (4.9)

т. е. сумма вероятнейших погрешностей всегда должна быть равна нулю.

Вычитая из равенства (4.6) равенство (4.7), получим

Δ_i – V_i = L – X. (4.10)

В правой части равенству (4.10) мы имеем случайную погрешность арифметической середины. Обозначим ее через ε. Тогда

Δi = V_i + ε. (4.11)

Возведем в квадрат равенство (4.11), возьмем их сумму и разделим ее на n:

[Δ²] / n = [V²] / n + nε² / n + 2ε[V] / n. (4.12)

Левая часть этого равенства есть не что иное как m². Последнее слагаемое правой части ввиду равенства (4.9) равно нулю.

m² = [V²] / n + ε². (4.13)

Случайную погрешность ε заменим ее средним значением, т. е. средней квадратической погрешностью арифметической середины. Ниже будет доказано, что средняя квадратическая погрешность арифметической середины

М ² = ε ² = m ²/ n. (4.14)

Тогда

m ² – m² / n = [V ²] / n или m ²(n – 1) / n = [V ²] / n,

откуда ___________

m ² = [V ²] / (n – 1), или m = √ [V ²] / (n – 1). (4.15)

Формула (4.15) называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.

Кроме средней квадратической погрешности различают еще среднюю, вероятную и относительную погрешности.

Средней погрешностью (Θ) называют среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей т. е.

Θ = (|Δ₁| + |Δ₂| + … + |Δ_n|) / n = [|Δ|] / n. (4.16)

В теории погрешности доказывается, что при n → ∞ Θ = 0,8 m, или m = 1,25Θ.

Иногда в прикладных вопросах пользуются вероятной погрешностью r. Вероятной погрешностью называют такое значение случайной погрешности в одном ряду равноточных измерений, по отношению к которой одинаково возможна погрешность как больше, так и меньше этого значения, по абсолютной величине. Для нахождения r все погрешности данного ряда располагают в порядке возрастания по абсолютной величине и выбирают то значение, которое занимает среднее положение, т. е. погрешностей меньше его столько же, сколько и больше. Вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением r = 2/3 m = 0,67 m или m = 1,5 r.

Как видно, m > Θ и m > r, что показывает, что средняя квадратическая погрешность лучше характеризует точность измерений, чем средняя и вероятная погрешности.

Оценку точности таких измеренных величин, как линии, площади и объемы часто производят с помощью относительной погрешности. Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к значению измеренной величины. Относительная погрешность записывается в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, показывающее какую долю измеряемой величины должна составлять допустимая погрешность. Например, длина стороны D = 150 м измерена с абсолютной погрешностью m_d = 0,05 м. Тогда относительная погрешность результата измерения составит m_d / D = 0,05 м / 150 м = 1 / 3000.

Величина 1 / 3000 означает, что на 3000 м расстояния может быть допущена погрешность в 1 м. Чем больше знаменатель относительной погрешности, тем выше точность измерений. Точность всех линейных измерений в геодезии всегда задается относительной погрешностью, которая приводится в соответствующих инструкциях и наставлениях по производству данного вида геодезических работ.