Основные уравнения сложных реологических тел

Основными сложными моделями широко используемыми для моделирования реальных пищевых продуктов, в том числе мясных, являются: модель упруго-вязкого тела (тело Максвелла), модель упруго-вязкого тела (тело Фойгта-Кельвина), модель упруго-пластичного тела, модель вязко-пластич-ного тела (Шведова-Бингама) и др.

Механическая модель вязко-упругого тела с релаксацией деформаций (тела Максвелла). Механическая модель вязко-упругого релаксирующего тела Максвелла (рис. 2.5) представляет последовательное соединение элементов Гука с модулем упругости

и Ньютона с вязкостью

. На оба элемента действует одинаковое напряжение

. Для последовательного соединения элементов считается, что полная скорость деформации тела равна сумме скоростей ее элементов и каждый элемент передает полную нагрузку.

Рис. 2.5. Механическая модель тела Максвелла

Поведение модели. Если к модели приложить мгновенную нагрузку и сразу снять, то успевает отреагировать только пружина, которая растянется и сожмется, а поршень не успевает сдвинутся. В этом случае модель ведет себя как упругое тело. Если после приложения нагрузки продолжать поддерживать растяжение пружины постоянным, то она релаксирует, т.е. сжимается, перемещая поршень, до тех пор, пока полностью не вернется к своему первоначальному состоянию. В этом случае модель ведет себя, почти как ньютовская жидкость.

Для упругого элемента скорость деформации определяется из закона Гука , а для вязкого из закона Ньютона .

Складывая скорости упругой и вязкой деформаций и проведя математические действия, получаем основное реологическое уравнение для тела Максвелла вида:

или . (2.14)

Механическая модель вязко-упругого тела с релаксаций напряжений (тела Фойгта-Кельвина). Механическая модель вязко-упругого тела Фойгта- Кельвина (рис. 2.6) представляет параллельное соединение элементов Гука с

модулем упругости и Ньютона с вязкостью .

Рис. 2.6 Механическая модель тела Фойгта-Кельвина

Поведение модели. Если к модели приложить нагрузку мгновенно и снять, модель остается неподвижной, т.е. она ведет себя, как абсолютно твердое тело. Если к модели приложить нагрузку и ее удерживать постоянной, то под действием растягивающего усилия пружина удлиняется, и одновременно перемещается поршень в жидкости. При этом движение поршня связано с вязким сопротивлением жидкости, ввиду чего полное растяжение пружины наступает не сразу. После снятия нагрузки, пружина сжимается до первоначальной длины, но это требует времени вследствие вязкого сопротивления жидкости.

Поведение модели описывается основным уравнением Фойгта-Кель-вина вида

. (2.15)

Если предположить, что деформация постоянна, то =0, при этом наблюдается процесс рассасывания, релаксации напряжений, причем при =0 напряжение равно какому-то начальному значению . При интегрировании уравнения в пределах от до и времени от 0 до получают уравнение вида

или . (2.16)

Если в этом уравнении выражение обозначить через , то уравнение примет вид

, (2.17)

где - период релаксации, сек.

Данное уравнение называют экспоненциальным уравнением релаксации напряжений.

Период релаксации характеризует быстроту процесса перехода системы из неравновесного термодинамического состояния, вызванного внешним воздействием, в состояние термодинамического равновесия. За этот период напряжение убывает в 2,7 раза.

Механическая модель вязко-пластичного тела Шведова-Бингама. Механическая модель (рис. 2.7) представляет параллельное соединение элементов Ньютона с вязкостью и Сен-Венана с пределом текучести .

Рис. 2.7 Механическая модель вязко-пластичного тела Шведова-Бингама.

Поведение модели. Если при приложении нагрузки в модели возникают напряжения выражающиеся неравенством , то тело ведет себя как абсолютно твердое недеформируемое. В противоположном случае, когда , механическая модель описывается основным реологическим уравнением вида:

или . (2.18)

Механическая модель упруго-пластичного тела. Механическая модель упруго-пластичного тела (рис. 2.8) представляет последовательное соединение упругого элемента Гука с модулем упругости

пластического элемента Сен-Венана с пределом текучести

а б

Рис. 2.8. Механическая модель упруго-пластичного тела

Поведение модели. При приложении нагрузки меньше критической величины происходит только растяжение пружины, а пара трения скольжения остается неподвижной, т.е. модель ведет себя, как упругое тело. В случае превышения нагрузки выше критической, происходит перемещение одного элемента пластичного тела относительно другого, при этом пружина остается в том же растянутом состоянии, в котором находилась в момент достижения нагрузки критической величины, т.е. модель ведет себя, как пластичное тело.

При механическая модель упруго-пластичного тела описывается основным реологическим уравнением Гука имеющего вид .