Эмпирическая кривая распределения – это полигон частот

Для построения нормальной кривой выполняют следующее:

1) Находят выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение (методом произведений) в лабораторной работе № 2 нашли эти значения:

= 167,6, ≈ 9,1

2) Вычисляют ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле

, где

Значение функции находим по таблице (Приложение 1) значений функции

, функция четная, т.е.

Значение функции округляют до ближайшего целого числа и принимают за теоретические частоты . Все расчеты записываются в таблицу:

Таблица 1.

		- 14,6	- 1,6	0,1109	4,4
		- 8,6	- 0,96	0,2516	10,8
		- 2,6	- 0,29	0,3825
		3,4	0,3	0,3814
		9,4	1,03	0,2347	9,4
		15,4	1,69	0,0957	3,84
	Σ = 60					Σ = 60

3) Строят точки с координатами в прямоугольной системе координат и соединяют их плавной кривой. Полученная кривая и будет нормальной кривой, построенной по опытным данным.

Строим эмпирическую кривую распределения и нормальную (Рис. 1). Близость выравнивающих (теоретических) частот к эмпирическим позволяет предположить, что исследуемый признак распределен нормально.

Рис. 1. Кривые распределения: эмпирическая и теоретическая

Проверим согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным.

Для этого воспользуемся так называемыми критериями согласия.

Имеется несколько критериев согласия:

критерий Пирсона (;

критерий Романовского;

критерий Колмогорова,

критерий Ястремского;

элементарные приемы определения нормальности распределения и т.д.

Критерий Пирсона

Рассмотрим применение критерия к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности значений исследуемого признака.

Вычисляем по формуле ,

где - эмпирические частоты, - теоретические частоты.

Для оценки того, насколько данное эмпирическое распределение согласуется с теоретическим, вычисляют . Значение табулировано в зависимости от числа степеней свободы (К) исследуемого признака. Число степеней свободы вычисляют по формуле: К = m – r – 1, где m – число интервалов значений признака (в нашей задаче m=6), r - число используемых статистических характеристик (r=2, т.к. мы использовали для расчета теоретических частот. Поэтому К = 6 – 2 – 1 = 3.

Для вычисленных и К находим вероятность . Если эта вероятность значительно отличается от нуля (>0,1), то можно считать, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим нормальным (Приложение 2).

Все расчеты записываются в таблицу:

Таблица 2.

		- 1		0,09
		- 4		1,0
		- 2		0,25
				0,1
				1,0
Σ = 60	Σ = 60			Σ =6,44

= 6,44, ≈ 0,12, так как полученная вероятность значительно отличается от нуля, то можно считать, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим нормальным в смысле критерия Пирсона.

На графике изображена кривая вероятностей по критерию Пирсона. На оси 0х указывается значение .

Вывод: нулевая гипотеза не отвергается, а принимается с коэффициентом значимости 0,95.