Плоско-параллельное движение (ППД) представляет собой вращение без указания осей. На рис. 107 показано применение ППД для определения натуральной величины треугольника АВС.
Рис. 107
ПЕРВЫМ ПОВОРОТОМ треугольник приведен в положение А 1 В 1 С 1, перпендикулярное к плоскости H. Построение выполнено с помощью фронтали А 1, которая вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости V, расположена перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекций H (рис. 107).
Так как фронтальные проекции проецируемого объекта, вращаемого вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций V, не изменяют ни своей формы, ни величины, фронтальная проекция А"В"С" отнесена параллельно самой себе на свободное место чертежа (рис. 107).
Горизонтальная проекция А'B'C ' получена путем проведения линий связи от фронтальной проекции А"В"С" и переноса глубины (координата y) каждой вершины треугольника.
ВТОРЫМ ПОВОРОТОМ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости H, А 1 В 1 С 1 приведен в положение А 2 В 2 С 2, параллельное фронтальной плоскости V, при котором горизонтальная проекция А'B'C ' будет параллельна оси x.
Эта проекция отнесена на чертеже (рис. 107) вправо путем параллельного перемещения на удобное место. Проведя через точки А" 2 В" 2 С" 2 линии связи (перпендикулярно оси x) и перенося высоты (координаты z) точек А, В, С, находим точки А '2 В '2 С '2 Соединяя эти точки последовательно прямыми, получим треугольник А””є, являющийся натуральной величиной треугольника АВС (рис. 107).
9. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
План:
9.1. ЛИНИЯ
Винтовая линия
9.2. ПОВЕРХНОСТЬ
Поверхности линейчатые
Поверхности линейчатые развертывающиеся
Поверхности линейчатые неразвертывающиеся
Поверхности нелинейчатые
Поверхности параллельного переноса, вращения
Поверхности вращения
Поверхности винтовые
ЛИНИЯ
ЛИНИЯ — это множество всех последовательных положений движущейся точки.
Евклид: “Линия же — длина без ширины”.
Прямая — разновидность линии, которая получается, если движущаяся точка не изменяет направления движения.
Кривая — разновидность линии, которая получается, если движущаяся точка изменяет направление движения.
Плоские линии — линии, все точки которых принадлежат одной плоскости.
Пространственные линии (линии двоякой кривизны) — линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости (например, линии пересечения поверхностей).
Алгебраические линии определяются алгебраическими уравнениями в декартовой системе координат (окружность, эллипс, парабола, гипербола и др.).
Трансцендентные линии описываются трансцендентными уравнениями (синусоида, спираль Архимеда и др.).
Если алгебраическое уравнение линии n ‑й степени, то алгебраическая кривая считается n ‑го порядка, то есть ПОРЯДКОМ КРИВОЙ называют наибольшую степень ее уравнения.
Геометрически порядок плоской кривой определяется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой, лежащей в плоскости кривой, а для пространственной кривой — пересечением ее с плоскостью.
Для алгебраических кривых это число точек всегда конечно. Для трансцендентных — бесконечно. Например, для эллипса (рис. 108)
x 2/ a 2 + y 2/ b 2 = 1
имеем n = 2, т.е. это — кривая второго порядка.
Рис. 108 Рис. 109 |
Для синусоиды (рис. 109) y = sin x имеем n = ¥.
Кривые бывают закономерные и незакономерные, как, например, горизонтали на географической карте.
Винтовая линия
Пространственная кривая, широко применяемая в технике.
Цилиндрическая винтовая линия — пространственная кривая, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки: вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль прямой, параллельной этой оси (рис. 110).
Рис. 110
p — шаг винтовой линии или расстояние между двумя ее соседними витками в направлении, параллельном оси i. Шаг определяет величину перемещения точки в направлении оси за один оборот этой точки вокруг оси.
Проекция цилиндрической винтовой линии на горизонтальную плоскость проекций (при i ^ H) — окружность, на фронтальную плоскость проекций — синусоида.
Отрезок [1o1o1] — развертка цилиндрической винтовой линии.
jo — угол подъема винтовой линии.
Цилиндрические винтовые линии бывают правые и левые. Основание для такого деления — направление движения точки, спускающейся по винтовой линии. Если проекция этого направления на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии, совпадает с направлением движения часовой стрелки — винтовая линия ПРАВАЯ. В противном случае — ЛЕВАЯ.
Коническая винтовая линия — пространственная кривая, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки: вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль прямой, пересекающейся с этой осью (рис. 111).
Рис. 111
При i ^ H горизонтальная проекция конической винтовой линии — архимедова спираль, фронтальная — затухающая синусоида.
ПОВЕРХНОСТИ
С житейской точки зрения поверхность — внешняя сторона предметов. Так утверждают толковые словари. Евклид: “Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину”.
В технической практике принято рассматривать образование поверхности (как и линии) с позиций кинематики — движения.
ПОВЕРХНОСТЬ — это множество последовательных положений движущейся линии — образующей.
Образующая может сохранять свою форму или изменять ее — деформироваться. Закон перемещения образующей определяется направляющими линиями, по которым скользит образующая и характером движения образующей. Например, поверхности Каталана (названы так по имени бельгийского ученого, их исследовавшего), или — поверхности с плоскостью параллелизма. Прямолинейная образующая “a” перемещается — скользит по двум направляющим — “n” и “m”, оставаясь параллельной плоскости параллелизма a.
Для изображения поверхности на чертеже, используют КАРКАС — множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае хотя бы одна линия каркаса. Проекции каркаса можно построить, если известен определитель поверхности.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ — совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.
Различают две части определителя:
— геометрическая часть указывает на геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых образовывается поверхность; обозначается (Г);
— алгоритмическая (описательная) часть содержит указания о характере изменения образующей и законе ее перемещения; обозначается [ A ].
Таким образом, определитель пишется в следующей форме:
F(Г)[ A ]
Определитель находят, исходя из кинематического способа образования поверхности. Например, для поверхностей Каталана:
F(m,n)[ a || a]
Для задания этих поверхностей на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих m и n и положение плоскости параллелизма a (рис. 112).
Рис. 112
В геометрическую часть определителя не записывают образующую a. Поверхность линейчатая (образующая — прямая линия). Поэтому априорно известно, что а — прямая.
В алгоритмической части содержится указание, что поверхность Каталана является поверхностью с плоскостью параллелизма. Поэтому в геометрическую часть определителя не записывают также и плоскость параллелизма.