Элементарные математические модели

Введение

Для того чтобы осмыслить любой процесс или явление, надо описать его закономерности, законы существования и на этой основе создать его математическую модель. Сущность математического моделирования состоит в замене объекта его образом или математической моделью и дальнейшим изучением этой модели с помощью аналитических методов или вычислительных алгоритмов. Часто с самим объектом работать невозможно, а работа с моделью дает возможность подробно, глубоко, быстро и без существенных затрат исследовать поведение объекта и его свойства в различных ситуациях.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук: к примеру, слово «алгоритм» произошло от имени арабского ученого Аль-Хорезми. Второе рождение этой методологии пришлось на 40-50 годы XX века и было связано с появлением новых возможностей, рожденных появлением компьютерной техники, и новых потребностей, обусловленных бурным развитием науки и техники во всех областях. Прямой натурный эксперимент над техническими, экологическими, экономическими и другими системами дорог и часто либо опасен, либо невозможен, причем цена ошибок и просчетов в обращении с ними бывает недопустимо высока, поэтому математическое моделирование является неизбежным для научно-технического прогресса. Прежде, чем осуществить какой-либо проект, его моделируют, изучают, рассчитывают и проверяют последствия. Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые и новые сферы – от разработки технических систем и управления ими, до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Исследовать объект можно теоретически или экспериментально, при этом для различных областей знания можно выделить общие, не зависящие от конкретной специфики, подходы к построению и анализу математических моделей. Постановка вопроса о математическом моделироваии процесса порождает четкий план действий. Его можно представить следующей схемой:

Универсальность математических моделей отражает единство окружающего нас мира и способов его описания.

Этапы математического моделирования:

1. Строится эквивалентный объект, отражающий в математической форме основные свойства и законы, которым он подчинялся, а также связи присущие составляющим его частям.

2. Математическую модель или ее фрагменты исследуют вначале теоретическими методами, что позволяет получить важнейшие знания об объекте.

3. Разрабатывается алгоритм для исследования модели или реализации модели на компьютере. Он не должен искажать основных свойств модели и быть экономичным.

4. Создается программа (электронный эквивалент).

5. Тестирование => адекватность модели исходному объекту => результаты => улучшение и уточнение, по мере необходимости, всех звеньев, построенной модели.

Эти этапы общие для всех моделируемых процессов, но в разных случаях они опираются на различные методы и подходы.

Заметим, что математическое моделирование присутствует во всех видах деятельности людей, начиная с ученых и исследователей и кончая политиками и военачальниками. Однако математическое моделирование дает положительный результат только при соблюдении необходимых требований к модели:

1) четкая формулировка основных понятий;

2) анализ адекватности используемых моделей;

3) гарантированная точность всех вычислительных алгоритмов;

4) разграничение математических и бытовых терминов.

Элементарные математические модели

Рассмотрим некоторые подходы к построению простейших математических моделей: применение фундаментальных законов природы, вариационных принципов, аналогий, иерархических цепочек.

Основной метод построения моделей – фундаментальные законы природы, применяемые к конкретной ситуации. Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений, поэтому их обоснованность не вызывает сомнений.

1. Закон сохранения энергии. Этот закон известен почти двести лет и занимает наиболее почетное место среди великих законов природы.

Задача №1. Определить v – скорость револьверной пули с массой m, с помощью устройства «маятник-груз», повешенном на легком вращающемся стержне длинной L. (Рис.1).

Рис.1.

Решение. Пуля застревает в грузе массой M, подвешенном на нити, и сообщает системе «пуля – груз» свою кинетическую энергию, которая, согласно закону сохранения энергии, в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали на угол полностью перейдет в потенциальную энергию системы. Запишем это в виде: mv ²/2 = (m + M) gh, где h – отклонение системы «пуля – груз» по вертикали. Из рисунка видно, что

cosα = (L-h)/ L, h = L (1-cosα) и mv ²/2 = (m + M) g L (1-cosα).

Из этого соотношения находим скорость пули

. (1)

Таким образом, построенная модель дает приближенное решение задачи, так как не учитывает потери энергии на разогрев пули и груза, на преодоление сопротивления воздуха, на разгон стержня и т.д. (правда они невелики). Закон сохранения механической энергии дает нижнюю оценку для скорости пули, так как он учитывает, что сохраняется механическая, а не полная энергия. Для более точного решения этой задачи надо воспользоваться законом сохранения импульса: импульс системы до соударения и после соударения одинаков, то есть

mv = (M+m) .

Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия системы «пуля – груз» в нижней точке в момент максимального отклонения полностью перейдет в потенциальную энергию, что можно записать следующим образом

,

делая необходимые преобразования получаем

= 2 gh, h = (L – L cosα),

.

Таким образом, имеем

, (2)

Мы получили другое выражение для определения скорости пули

Применим закон сохранения энергии для решения следующей задачи.

Задача №2. Лазер сверлит поверхность металла толщины L с мощностью W. Излучение лазера перпендикулярно поверхности материала. Плотность вещества ρ. Площадь поперечного сечения столбика, который сверлит лазер S. Найти время t, за которое лазер просверлит металл.

Решение. Предположим, что вся энергия лазера идет на испарение столбика материала массы . Закон сохранения энергии запишем виде

,

где h – энергия, требуемая для испарения единицы массы, тогда

. (3)

Рассмотрим процесс сверления лазером более детально. Пусть – глубина выемки, зависящая от времени t. На испарение за время массы тратится энергия , равная энергии , сообщаемой веществу лазером: , отсюда получается дифференциальное уравнение , его интегрирование дает , где – вся энергия, выделенная лазером к моменту времени t. Следовательно, глубина выемки пропорциональна затраченному времени. Таким образом, если , то , что и было получено ранее (3).

В действительности процесс сверления гораздо сложнее рассмотренной схемы – энергия тратиться на нагрев вещества, на удаление паров из выемки и т.п., поэтому уверенность в адекватности предложенной математической модели значительно меньше, чем в случае с пулей. Вопрос о соответствии объекта и его модели – один из центральных в математическом моделировании.