2015-10-22
6690
Простота многих рассмотренных моделей связана с их линейностью. В математическом плане это означает, что справедлив принцип суперпозиции, то есть любая линейная комбинация решений также является решением задачи. Пользуясь этим принципом, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей ситуации. В случае линейных моделей отклик объекта на изменение каких-либо условий пропорционален величине этого изменения.
Для нелинейных явлений знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания о поведении всего объекта, а его отклик может качественно зависеть от величины этого изменения. Например, уменьшение падение луча света на границу раздела двух сред приводит к уменьшению угла преломления, но только до определенного предела: если угол становится меньше критического, то происходит качественное изменение – свет перестает проникать через границу раздела двух сред.
Большинство реальных явлений нелинейно. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, популяционные модели становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. Рассмотрим такую нелинейную модель – логистическую модель изменения численности популяций. Она является следующим звеном в иерархической цепочке популяционных моделей. В логистической модели предполагается, что:
|
|
|
1. Существует равновесная численность популяции 
, которую может обеспечить окружающая среда.
2. Скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной на величину ее отклонения от равновесного значения, то есть
. (19)
Член 
обеспечивает механизм «насыщения» численности. Представляя последнее уравнение в виде
и интегрируя его, получаем
(20)
Поведение функции описывается логистической кривой (рис. 6). При любом N (0) численность стремиться к равновесному значению N p, причем тем медленнее, чем величина N (t) ближе к N p.
 |
Рис. 6.
Модель предсказывает, что с течением времени устанавливается стационарный режим, который устойчив: большое население уменьшается, меньшее – увеличивается.
