Закон сохранения массы вещества

Задача №3. Небольшое количество радиоактивного вещества (урана, область I), окруженное толстым слоем обычного материала (свинца, область II) распадается. Найти время распада радиоактивного вещества.

Решение. Слова «небольшое количество» подразумевают упрощающее обстоятельство: все продукты распада, не испытывая столкновений с атомами вещества, беспрепятственно покидают область I. Другими словами, длина свободного пробега продуктов распада λ₁ в первом веществе значительно больше характерных размеров самого материала L ₁, т.е. λ₁ >> L ₁.

Слова «окруженное толстым слоем» означают, что продукты деления полностью поглощаются в области II. Это гарантируется при выполнении условия λ₂ << L ₂, где λ₂ – длина пробега продуктов распада во втором веществе, L ₂ – его характерный размер. Итак, все, что вылетает из области I, поглощается в области II, и суммарная масса обоих веществ не меняется. Это и есть закон сохранения массы вещества. Пусть M ₁(t) и M ₂(t) – массы 1-го и 2-го веществ в момент времени t соответственно, тогда в любой момент времени, согласно закону сохранения массы вещества, справедлив баланс

M ₁(0) + M ₂(0) = M ₁(t) + M ₂(t).

Одного этого уравнения недостаточно для определения текущих значений масс – M ₁(t) и M ₂(t). Учтем, что скорость распада пропорциональна N (t) – общему числу атомов радиоактивного вещества (причем M (t) = μ N (t), где μ – атомный вес). Таким образом, общее число атомов N (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

,

а масса M ₁(t), соответственно, удовлетворяет аналогичному дифференциальному уравнению

.

Коэффициент пропорциональности α – постоянная распада, определяется конкретным веществом. Решая это уравнение, получим

, M ₁(t) = C e^{-α t} , M ₁(0) = C.

Таким образом,

M ₁(t) = M ₁(0) e^{-α t} ,

и для M ₂(t) имеем

M ₂(t) = M ₂(0) + M ₁(0) – M ₁(0)e^{-α t} _.

Очевидно, что при t → ∞ продукты распада полностью переходят из области I в область II. Если же говорить о реальном времени распада всего вещества, то считается, что все вещество распалось, если в области I не осталось ни одного атома, то есть M ₁(t) ≤ μ или M ₁(0)e^{-α t} ≤ μ, тогда время распада всего вещества можно оценить таким образом

t ≥ – ln(μ/ M ₁(0)). (4)