Применение аналогий при построении моделей

В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях оправдано использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако такая аналогия просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение, что скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N (t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости и смертности . В результате приходим к уравнению

, (18)

весьма похожему на уравнение радиоактивного распада (если α и β постоянные). Интегрирование этого уравнения дает

,

где N (0) – начальная численность населения. Если α + β = 0, то численность остается постоянной, то есть решением является равновесная величина N (t)= N (0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства α + β = 0 приводит с течением времени ко все большему отклонению функции N (t) от равновесного состояния N (0). Заметим, что при постоянных α и β, в случае α > - β население растет по экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность, в случае α < - β численность населения убывает по экспоненте, стремясь к нулю. Можно указать немало ограничений применимости построенной модели, конечно же этот сложнейший процесс не может описываться какими–либо простыми закономерностями хотя бы потому, что он зависит от сознательного вмешательства самих людей. Тем не менее данная модель в первом приближении характеризует данный процесс.