Примеры вычисления моментов инерции простых фигур

Задача 1

Осевой (J_z) момент инерции прямоугольника относительно центральной оси

J_z = ∫_A y²*dA= ∫_A y²*(b*dy) = b ∫_-h/2 y²*dy = bh³/12

Задача 2

Осевой (J_z) момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через его основание

J_z=∫_A y²*dA= ∫₀^hy²*[b(h-y)/h)*dy= b/h[ ∫₀^hy²*(h-y)*dy]= bh³/12

Задача 3

Полярный и осевые моменты инерции круглого сечения относительно центра и центральных осей

J_ρ=∫_Aρ²*dA= ∫₀^rρ²* (2*π*ρ) *dρ=2*π*∫₀^rρ²* (2*π*ρ) *dρ= π*r⁴/2= π*d⁴/32

J_ρ= J_z+J_у= 2*J_z = 2*J_у → J_z = J_у = J_ρ/2 = π*r⁴/4= π*d⁴/64

Моменты инерции сложных сечений

Пример 1 (рис. 23)

J_z = bh³/12 - π*r⁴/4

Рис. 24 Пример 2 (рис. 24)

J_z = bh³/12-2[h ₁ ³*(b-t)/12]