2015-10-22
434
1. Функция F(х) – не убывающая функция, при х2³х1, следовательно F(х2)³F(х1).
Доказательство: пусть Х – случайная величина. Х1 и Х2 – две произвольные точки, причем х1<х2. Сравним значение функции в этих точках. Так, как событие Х<x1 влечет за собой Х<x2, то вероятность также будет
Р(Х<x1)£Р(Х<x2)
F(x1)£F(x2)
2. Значение функции распределения принадлежит промежутку [0;1]. Свойство вытекает из определения 0£ F(x)£ 1, вероятность - есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат промежутку (a;b), то значение функции распределения равно нулю, если х<а равно 1, то F(х)= 0 и F(х)= 1, если х>b,
F(х)= 0 х<а
F(х)= 1 х>b
Доказательство.
1) Пусть х1£а, тогда событие X<х1 – невозможно, т.к. значения меньших х1, величина х по условию не принимает, следовательно его вероятность равна 0.
2) Пусть х2³b, тогда событие X<х2 достоверно, т.к. все возможные значения X<х2, следовательно вероятность такого события равна 1.
Следствие: если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси ox, то справедливо следующее соотношение.
;
.
График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинаются от нуля и доходят до 1. Причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.
Для дискретной случайной величины график F(х) имеет ступенчатый вид.
Пример:
Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого в мишень равна 0,6, для второго 0,8. Составить таблицу распределения и построить ее график.
Обозначим x -число попаданий в мишень, тогда x принимает значения:
| x | |||
| P | 0,08 | 0,44 | 0,48 |
A 1-попал первый; 
-не попал первый;
A 2- попал второй; 
-не попал второй,
;
;
 |
|
Вероятность попадания случайной величины в пределы заданного участка.
Зная функцию F(x), вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение заключенное в интервале (a;b). Пользуясь теоремой сложения вероятностей запишем вероятность того, что х<b будет складываться из вероятностей Р(х<b)=Р(х<a)+Р(а£х). Выразим Р(а£х<b)=Р(х<b)-P(x<a)=F(b)-F(a). Таким образом искомая вероятность равна приращению функции распределения на данном интервале.
Отдельная вероятность попадания в точку. Полученную формулу нахождения вероятностей используем для х=а при условии, что
Пример: Случайная величина задана функцией распределения
F(x)= 0 x <2;
F(x -2 ) 2 2£ x £3;
F(x)= 1 x >3.
Вычислить вероятность случайной величины в интервале P(3,5£ х £2,5) и Р (1< х <2,5).
P (3,5< x <2,5)= F (3,5)- F (2,5)=1-(2,5-2)2=1-0,25=0,75;
Р (1< х <2,5)= F (2,5)- F (1)=0,25.
Плотность распределения
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности распределения вероятностей случайной величины, которая является дифференцируемой функцией распределения. Рассмотрим непрерывную случайную величину x, функция распределения которой непрерывна и дифференцируема.
Определение: плотностью распределения случайной величины x, называют первую производную от функции распределения f(x)=F(x). Установим вероятностный смысл. Из определения производной следует, что это есть предел от приращения функции к приращению аргумента. Разница функций распределения в точке х+Dх, это есть вероятность того, что х попадает в интервал от (х+Dх).
Т.е. плотность распределения случайной величины в точке х, равно пределу отношения вероятности попадания случайной величины х в интервал от х до х+Dх к Dх, когда Dх ®0.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Задача.
Зная плотность распределения величины x, вычислим вероятность того, что случайная величина примет значение принадлежащее интервалу от (a;b).
P(a<x<b)=F(b)-F(a)= 
Рассмотрим график плотности распределения.
Кривая распределения имеет вид:
 |
Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a;b) равно площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ox, кривой распределения f(x) и прямыми х=а, х=b. График функции y=f(x) – называется кривой распределения.
Основные свойства плотности распределения.
1. Функция f(x) неотрицательна f(x)³0, как производная от неубывающей функции.
2. Несобственный интеграл от (-¥; ¥) 
.
Несобственный интеграл выражает вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (-¥; ¥). Такое событие всегда достоверно, его вероятность равна 1.
Частный случай.
Если х принадлежит интервалу (a;b)
Вывод: Рассмотренные свойства-
1. Вся кривая распределения лежит не ниже оси ox.
2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченная кривой распределения и осью ox равна 1.
Пример:
Случайная величина задана функцией
Найти вероятность попадания величины на участок от 0 до p/4. Найти значение коэффициента a и построить кривую распределения.
P (0<x<p/4)= 
 |
Нахождение функции распределения по известной функции f(x).
Установим выражение функции распределения через плотность распределения.
По определению f(x) – это есть вероятность того, что F(x)=P(X)<x. Чтобы применить формулу запишем
F(x)=P(X<x)=P(-¥<X<x),
а по формуле P(a<x<b)= 
, тогда мы можем записать, что
F(x)= 
Пример.
Плотность распределения x задана формулой:
Найти F(x)-?
