Елементи теорії портфеля

Диверсифікація – це процес розподілу інвестиційних коштів між різними об’єктами вкладення капіталу. Метою диверсифікації, створення портфеля активів є зниження ризику недоотримання доходу, стабілізація доходів.

Наукове обґрунтування диверсифікації інвестицій, так званої “теорії портфеля”, було закладено в 50-ті роки минулого століття американським економістом Г.Марковіцем. Запропонована ним математична модель дозволяла формувати портфель цінних паперів (надалі – ПЦП) з заданою доходністю та мінімально можливим при цьому ступенем ризику. Сьогодні ця модель вже є “класикою” фінансового та інвестиційного менеджменту, вона тривалий час використовується в практиці портфельного інвестування.

Вихідними положеннями моделі Марковіца є те, що норма прибутку (доходність) інвестицій в цінні папери (надалі – ЦП) – це випадкова величина; інвестор оцінює альтернативні рішення за двома параметрами – сподівана норма прибутку як показник ефективності інвестицій та середньоквадратичне відхилення норми прибутку як показник ризику; інвестор прагне збільшення ефективності та зменшення ризику.

Визначення характеристик портфеля цінних паперів. Позначимо через R_i випадкову величину норми прибуткуЦП і -го виду , W_i – обсяг інвестованих в нього коштів, W – загальний обсяг коштів, інвестованих в ПЦП. Нехай х_i = W_i / W, i = 1, …, N, тобто х_i – це частка інвестицій у ЦП i -го виду. Очевидно, що x_i ³0 і при цьому .

Під структурою ПЦП розуміють співвідношення часток інвестицій у ЦП різних видів. Структуру ПЦП можна задати вектором .

Випадкова величина норми прибутку ПЦП, складеного з N видів ЦП:

 

. (6.1)

Сподівана норма прибутку ПЦП:

 

. (6.2)

 

Оцінка ризику ПЦП, яка згідно з класичним підходом обчислюється як дисперсія його норми прибутку:

 

= , (6.3)

 

де – коваріація випадкових величин R_i та R_l, r_il – коефіцієнт кореляції між R_i та R_l, – коваріаційна матриця.

Портфель з двох видів цінних паперів. Структура портфеля з двох видів ЦП задається вектором , а випадкова величина норми прибутку, сподівана норма прибутку та оцінка ризику визначаються відповідно за формулами:

 

; ; ; (6.4)

(6.5)

Нехай , , , тоді:

. (6.6)

 

Ця парабола в системі координат “ ” проходить через точки А₁ (1; ) та А₂ (0; ), які відповідають однорідним портфелям, складеним відповідно з ЦП А ₁ та А ₂ (рис. 6.1. а).

Рис. 6.1. Залежність оцінки ризику ПЦП від:

а) х – частки акції першого виду; б) m_П – сподіваної норми прибутку ПЦП.

 

Легко переконатись, що тобто задана парабола є опуклою вниз і досягає свого мінімального значення у точці (вершині) .

Дослідження з теорії портфеля часто здійснюються в системах координат “ х – s ” або “ т – s ”, при цьому дуга ÈА₂О*А₁ (область допустимих ПЦП) також опукла вниз на досліджуваному інтервалі зміни аргументу ( чи ).

Надалі для визначеності будемо вважати, що для акцій A₁ та A₂ мають місце співвідношення: m ₁ > m ₂, s ₁ > s ₂. Власне, це визначає доцільність утворення портфеля з даних акцій.

Координати вершини параболи :

 

, (6.7)

, (6.8)

 

де , .

Сутність ефекту диверсифікаціїв тому, що збільшення сподіваної норми прибутку m_П (починаючи з мінімального можливого значення) може супроводжуватись на певному етапі зменшенням оцінки ризику ПЦП – .

Згідно з рисунком 6.1 б при збільшенні m_П від m ₂ до оцінка ризику ПЦП зменшується від до . Подальше збільшення m_П (від до m ₁) призводить до збільшення оцінки ризику від до Отже, диверсифікація ефективна, коли абсциса вершини параболи О^* належить проміжку [ m₂; m₁ ].

Оскільки , то з формули для обчислення х* отримуємо , тобто r ₁₂ Î . Отже, для портфеля з двох видів ЦП диверсифікація ефективна, коли коефіцієнт кореляції їх норм прибутку – r₁₂, належить проміжку [–1; r¢), де r¢ = . Підкреслимо, що чим менше значення r₁₂, тим меншим буде ризик портфеля, тим ефективнішою буде диверсифікація.

Портфель з багатьох видів цінних паперів. Область, точки якої характеризують ступінь ризику та сподівану норму прибутку портфеля за всіх можливих структур, називається множиною допустимих ПЦП.

Для портфеля з багатьох видів ЦП (N > 2) ця множина має вигляд – див. заштрихована область на рисунку 6.2.

Рис. 6.2. Множина допустимих портфелів цінних паперів (N= 3)

 

Множина портфелів, що відповідають точкам дуги È О*А ₁, є множиною ефективних ПЦП, тобто портфелів, для яких в множині допустимих ПЦП не можна вказати інших:

¾ з тим же значенням т_П і меншим значенням ;

¾ з тим же значенням і більшим значенням т_П.

Залежно від цілей інвестора можна виділити декілька задач формування портфеля. Розглянемо їх сутність та математичні моделі.

Задача збереження капіталу. Сутність задачі – у виборі такої структури ПЦП, щоб оцінка ризику портфеля була мінімальною. Формально – це однокритеріальна оптимізаційна задача (нелінійного програмування).

Математична модель задачі:

 

, (6.9)

 

Портфель з мінімальним ризиком в моделі Марковіца існує завжди. Знайти структуру даного ПЦП можна побудувавши функцію Лагранжа та визначивши її точки мінімуму.

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку (модель Марковіца). Сутність задачі – у виборі такої структури ПЦП, щоб його сподівана норма прибутку була не меншою заданого рівня – m_K (m_K = const), а оцінка ризику була б при цьому мінімальною. Формально – це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

 

; ; (6.10)

Задача забезпечення приросту капіталу. Сутність задачі – у виборі такої структури ПЦП, щоб його оцінка ризику не перевищувала заданого рівня – s_L (s_L = const) і при цьому досягалась максимальна величина сподіваної норми прибутку. Формально, як і в попередньому випадку – це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ; (6.11)

Включення в портфель безризикових цінних паперів. Нехай х – частка капіталу, що інвестор розмістив у вигляді портфеля Е (m_E; s_E), сформованого на основі ризикових вкладень, (1 – х) – частка засобів, розміщена під фіксований відсоток R_F у безризикові ЦП. Випадкова величина норми прибутку такого розміщення капіталу: R_П = (1 – x) R_F + xR_E; сподівана норма прибутку: m_П = (1 – x) R_F + xm_E; а оцінка ризику, враховуючи що , , дорівнює:

 

. (6.12)

 

Отже, х = s_П /s_Е. Звідси можемо отримати рівняння залежності сподіваної норми прибутку від ступеня ризику:

 

. (6.13)

 

Це рівняння в просторі (m – s) визначає пряму, яка називається лінією ринку капіталів і характеризує ПЦП, що складаються як з безризикових ЦП, так і з ЦП, обтяжених ризиком (пряма R_FE на рис.6.2)

Випадок, коли 0 < x < 1 можна розглядати як ситуацію надання кредиту (інвестування) під фіксований відсоток R_F.

Випадок, коли х > 1 означає, що інвестор може скористатись позичкою та інвестувати у ринковий портфель Е (m_E; s_E) більше, ніж величина його власного початкового капіталу – ситуація отримання кредиту під фіксований відсоток R_F.

Ринкова модель (однофакторна модель Шарпа формування норми прибутку). Норми прибутків більшості акцій тісно пов’язані з загальною доходністю ринку ЦП, яка змінюється під впливом макроекономічних, політичних та інших чинників. Цю залежність американський економіст В.Шарп відобразив у, так званій, ринковій моделі:

 

R_i = a_i + b_i R_М + e_i, (6.14)

 

тут R_і – норма прибутку і -ої акції, a_i – коефіцієнт зміщення, b_i – коефіцієнт нахилу, R_М – норма прибутку ринкового портфеля, e_i – випадкове відхилення (випадкова величина, для якої ).

Ринковий портфель – це портфель, який включає всі наявні на ринку ЦП, в пропорції, що відповідає часткам окремих ЦП в загальній капіталізації ринку. Для моделювання в якості ринкового портфеля використовують певний фондовий індекс (наприклад, в США –Standard and Poor’s 500). При цьому виникає проблема адекватності подібної заміни – наскільки повно та точно індекс може характеризувати всі ЦП, присутні на ринку.

Коефіцієнт “бета” для i- ої акції обчислюється таким чином:

 

; . (6.15)

 

Для акції, норма прибутку якої віддзеркалює прибутковість ринку, коефіцієнт b дорівнює 1. У свою чергу, акціям з коефіцієнтом b більшим за одиницю, властива більша мінливість норми прибутку, ніж ринку в цілому. Їх називають “агресивними акціями”. І навпаки, акції з коефіцієнтом b меншим за одиницю мають меншу мінливість, ніж ринок у цілому, і їх називають “оборонними акціями”.

Оцінка систематичного та несистематичного ризику ЦП. Виходячи з моделі Шарпа, отримуємо залежності:

 

, . (6.16)

Тобто дисперсія норми прибутку акції і -го виду, власне, оцінка рівня загального ризику, яким вона обтяжена, представляється у вигляді суми двох складових: та . Перша складова, що залежить від дисперсії норми прибутку ринку у цілому, відображає оцінку систематичного (ринкового) ризику. Друга складова, будучи варіацією випадкової складової, відображає оцінкунесистематичного (власного, специфічного) ризику цієї акції.

Для ПЦП випадкова величина норми прибутку:

 

, (6.17)

(6.18)

 

Оскільки випадкові величини e_П та R_М можна вважати некорельованими між собою, то оцінку рівня загального ризику портфеля можна обчислити за формулою:

 

, (6.19)

 

де – оцінка ринкового ризику портфеля, – оцінка власного ризику портфеля.

“Бета”–коефіцієнт портфеля є середньозваженим значенням “бета”–коефіцієнтів активів, що його утворюють, тому диверсифікація не зменшує, а лишеусереднює ринковий ризик портфеля.

Випадкові похибки e_і є специфічними для даного виду активу, тому їх можна вважати попарно некорельованими, звідси

 

. (6.20)

 

Якщо інвестор рівномірно розподіляє кошти між N ЦП, то

 

, (6.21)

 

при цьому власний ризик портфеля дорівнює:

 

. (6.21)

 

Отже в N раз менше за середній власний ризик ЦП, які формують портфель. Таким чином, диверсифікація суттєво (практично до нуля) зменшує власний ризик портфеля, як наслідок, зменшується і його загальний ризик.

 

ЛІТЕРАТУРА

1. Бланк И.А. Управление финансовыми рисками: Учебный курс. / И.А. Бланк – К.: Ника – Центр, 2006. – 448 с.

2. Бланк И.А. Финансовый менеджмент: Учебный курс. / И.А. Бланк – К.: Ника – Центр, Эльга, 2002. – 528 с.

3. Гриньова В.М. Фінанси підприємств: Навчальний посібник./ В.М. Гриньова, В.О. Коюда – К.: Знання –Прес, 2006. – 423 с.

4. Івченко І.Ю. Моделювання економічних ризиків і ризикових ситуацій: Навчальний посібник. / І.Ю. Івченко – К.: ЦУЛ, 2007. – 344 с.

5. Коваленко Л.О. Фінансовий менеджмент: Навчальний посібник. / Л.О. Коваленко, Л.М. Ремньова – 2-ге видання перероб. і доп. – К.: Знання, 2005. – 485 с.

6. Старостіна А.О. Ризик-менеджмент: теорія та практика: Навч. посіб. / А.О. Старостіна, В.А. Кравченко – К.: „Видавництво „Політехніка””, 2004. – 200с.

7. Фінанси підприємств: Підручник/ А.М. Поддєрьогін, М.Д. Білик, Л.Д. Буряк та ін., Кер. кол. авт. і наук. ред. проф. А.М. Поддєрьогін. – 7-ме вид., без змін. – К.: КНЕУ, 2008. – 552 с.

8. Фінансовий менеджмент: Підручник / Кер. кол. авт. і наук. ред. проф. А.М. Поддєрьогін. – К.: КНЕУ, 2008. – 536с.

9. Финансовый менеджмент: Учебник/Под ред Е.С. Стояновой. – 5-е изд., переб, и доп. – М.: Изд-во «Перспектива», 2003. – 656 с.

10. Холмс Э. Риск – менеджмент / Эндрю Холмс; [пер. с англ.]. – М.: Эк5с мо, 2007. – 304 с.

11. Шелудько В.М. Фінансовий менеджмент: Підручник. / В.М. Шелудько – К.: Знання, 2006. – 439 с.

12. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А.А. Лобанова, А.В. Чугунова. – 3 – е изд. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2007. - 878 с.