Гармонические колебания. Математические способы представления синусоидальных гармонических колебаний

Учебный год МОК Теория электрических цепей Макаров С.В.

Гармонические колебания. Математические способы представления синусоидальных гармонических колебаний.

Колебательный процесс называется гармоническим или синусоидальными, если мгновенные значения эдс, напряжения или тока изменяется во времени по закону:

e(t)= Em sin(ω t + ψ) или e= Em cos(ω t + ψ ′)

u(t) = Um sin(ω t + ψ) или u = Um cos(ω t + ψ ′)

i(t) = Im sin(ω t + ψ) или i = Im cos(ω t + ψ ′),

где e(t), u(t), i(t)- мгновенные значения величин (т.е. значения в данный момент времени, обознаются строчными буквами, иногда, просто e,u,i).

	Амплитуды Em, U m, Im - максимальные значения величин. Период Т = 1/f, где f − частота колебания. Величина θ =ω t +ψ называется текущей фазой колебания и представляет собой некоторый угол, величина которого зависит от времени. Постоянная величина ψ (ψ′) называется начальной фазой, определяющей величину смещения гармонической функции относительно начала координат.
Величина ω пропорциональна частоте f; она носит название угловой частоты и равна ω =2 π f = 2 π / T. Угловая частота является скоростью изменения текущей фазы, т. е. ω = d θ/ dt, и измеряется в радианах в секунду (рад/сек). При t=0 значение функции определяется величиной начальной фазы u (0)= U mcos ψ.

Большая часть электрической энергии вырабатывается в виде эдс, изменяющейся во времени также по закону синусоидальной функции. Источником такой эдс может быть синхронный генератор: металлическая рамка, вращающаяся в равномерно распределенном постоянном магнитном поле с угловой частотой ω. Токи и напряжения элементов линейной электрической цепи, присоединенной к такому генератору, изменяются во времени в виде функции синуса, повторяя форму эдс.

В цепи гармонического синусоидального тока во всех ветвях угловая частота ω известна. Неизвестны и подлежат определению амплитуды и фазы. Амплитуда и фаза– это символы, характеризующие гармоническую (синусоидальную) функцию. Синусоидальную функцию можно изобразить вектором. Если вектор Аm вращается против часовой стрелки с частотой ω, то, расположив точки, соответствующие его проекциям в фиксированные моменты времени на оси времени, получаем синусоиду, и наоборот, функцию синуса можно представить таким вращающимся вектором.

Любой вектор можно задать в декартовой (координатами конца вектор) или полярной системе координат (длина вектора и угол наклона – его оси). Оба эти способа можно объединить на комплексной плоскости, представив вектор в виде комплексного числа.