Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1 2 3 4

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида (2):

= f (x, y).

Учитывая, что = , запишем это уравнение в виде

= f (x, y).

Умножим его на величину , получим = f (x, y) , откуда имеем

f (x, y) - = 0.

Получившееся уравнение можно рассматривать как уравнение вида

М (x, y) + N (x, y) = 0. (7)

Пусть каждая из функций М (x,y) и N (x,y) является произведением двух функций, из которых одна зависит только от x, а вторая — только от y:

М (x, y) = М ₁(x) М ₂(y), N (x, y) = N ₁(x) N ₂(y),

тогда уравнение (7) принимает вид

М ₁(x) М ₂(y) + N ₁(x) N ₂(y) = 0 (8)

и называется уравнением с разделяющимися переменными.

Разделим (8) на величину М ₂(y) N ₁(x), получим

(9)

или, введя обозначения ,

. (10)

Уравнения вида (9) или (10) называются уравнениями с разделенными переменными. В них множитель перед — функция только одной переменной x, а множитель перед — функция только одной переменной y.

Итак, уравнение с разделяющимися переменными (8) сводится к уравнению с разделенными переменными (9) путем деления обеих частей уравнения (8) на произведение М ₂(y) N ₁(x). Эта операция называется разделением переменных.

Интегрируем (10), получим решение (интеграл) уравнения (2):

Таким образом, решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными состоит в выполнении двух действий:

1) разделить переменные, т.е. получить уравнение вида (9) или (10);

2) проинтегрировать уравнение с разделенными переменными.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные x и y:

, .

Интегрируем: , откуда получим

Таким образом, — общее решение.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + y ²) dx – xy dy = 0, удовлетворяющее начальному условию у (1) = 0.

Решение. Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

1. Найдем сначала общее решение. Для этого разделим переменные x и y:

(1 + y ²) dx = xy dy,

Проинтегрируем последнее равенство: , получим . Учитывая свойства логарифмов, общее решение данного уравнения можно записать в виде

, где

2. Найдем частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия

x = 1, y = 0, получим С = 1.

Подставим в общее решение найденные значения постоянной С, получим частное решение данного уравнения: x ² – y ² = 1.

Пример решения прикладной задачи с помощью дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Задача. Охлаждение тела.

Пусть в начальный момент тело массой m имеет температуру Т ₀. Температура окружающей среды постоянна и равна Т _с, Т ₀ > Т _с. Найти закон охлаждения тела.

Решение. При решении используется закон Ньютона (для охлаждающего тела): скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.

Если — температура тела в любой момент времени t, — скорость изменения температуры тела, то — закон Ньютона. Для охлаждающегося тела: