Уравнения, сводящиеся к однородным

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(16)

где a, b, c, a ₁, b ₁, c ₁ — постоянные, f — непрерывная функция.

Если c = c ₁=0, то уравнение (16) является однородным и интегрируется как указано в п. 1.3. Если хотя бы одно из чисел c или c ₁ отлично от нуля, то рассмотрим два случая.

1. Определитель .

Введем новые переменные u и v по формулам:

где числа m и n найдем из системы:

Так как = , = , то уравнение (16) можно привести к однородному уравнению вида (15) относительно функции v (u):

Полученное уравнение интегрируется как указано в п. 1.3.

2. Определитель . Тогда ,

и, следовательно, a ₁ x + b ₁ y = (ax +by). Уравнение (16) примет вид:

.

Подстановкой u (x) = ax + by (x) это уравнение можно привести к уравнению с разделяющи­мися переменными и решить его как указано в п. 1.2.

Пример. Решить дифференциальное уравнение:

(x + y + 1) + (2x +2 y - 1) dy = 0.

Решение. Данное уравнение можно привести к виду (16):

(2 x + 2y - 1) dy = - (x + y + 1) dx, .

Так как Δ = 0 и = – 2 (случай 2), то данное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. Решим его с помощью подстановки.

Пусть u (x) = - x - y (x), тогда du = - dx - dy, уравнение примет вид

(1 - u) dx + (-2 u - 1)(- dx - du) = 0.

Преобразуем его:

(1 - u) dx + (2 u + 1) dx + (2 u + 1) du = 0,

(2 + u) dx = - (2 u + 1) du.

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: dx = - (2 u + 1)/ (2 + u) du.

Проинтегрируем: , откуда получим

; .

После преобразований получим общее решение данного уравнения:

.