Однородные дифференциальные уравнения

Функция f (x, y) называется однородной порядка k, если выполняется тождество

f (tx, ty) =

При k = 0 имеем однородную функцию нулевого порядка.

Пример 1. Функция f (x, y) = x y – 4 x² является однородной функцией порядка 2, т.к.
f (tx, ty) = (tx)·(ty)– 4(tx)² = t ²(x y – 4 x²) = t ² f (x,y).

Функция f (x, y) = является однородной функцией нулевого порядка, т.к.

f (tx, ty) = = = = f (x,y).

Уравнение вида

называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции М (x, y) и N (x, y) являются однородными функциями одного порядка.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно представить в виде

(15)

С помощью подстановки y = иx это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Заметим, что при решении однородного уравнения необязательно его приводить к виду (15), можно сразу сделать подстановку

y = иx (или x = иy)

и получить уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его с помощью подстановки.

Пусть y = иx. Дифференцируя это равенство, получим . Подставим эти выражения в данное уравнение:

.

Сократим на величину и, получим уравнение с разделяющимися переменными: .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

,

что после потенцирования дает

Так как

, то

и общий интеграл имеет вид

.