Вторая (обратная) задача динамики МТ

Вторая задача динамики МТ заключается в том, что, зная массу МТ и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения материальной точки в пространстве и от скорости ее движения, т. е.

Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (8) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:

(10)

Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (10), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:

(11)

где C_g, (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.

Продифференцировав соотношения (11) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:

(12)

В зависимости от значений постоянных C_g, (g =1,2,…,6) уравнения (11) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.

Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.

Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:

при t = 0:

(13)

где – значения координат материальной точки и их производных в начальный момент времени t=0.

Используя начальные условия (13), формулы (12) и (11), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:

(14)

Из системы (14) можно определить все шесть произвольных постоянных:

. (g = 1,2,…,6)

Подставляя найденные значения C_g, (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (11), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.

Вторая задача динамики решается интегрированием, используя соотношения (2.1) - (2.2):

При движении МТ в плоскости Охуz имеются 3 дифференциальных уравнений движения. При их интегрировании появятся 6 произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий (2.3):

При t=0

(2.3)