Определения моментов инерции относительно точки, оси и плоскости

1 2 3 4 5 6 7

Лекции 9-12

Часть 2. Динамика СМТ.

Основные понятия динамики СМТ.

Внешние и внутренние силы,

Свойства внутренних сил

Пусть СМТ состоит из n МТ (В₁, В₂, …, В_n), массы которых соответственно m₁, m₂,…m_n.

В динамике СМТ вводится следующая классификация сил:

Внешними силами для данной СМТназываются силы, с которыми действуют на нее объекты, не входящие в рассматриваемую СМТ.

Внутренними силами для данной СМТ называются силы взаимодействия между МТ, входящими в рассматриваемую СМТ.

Обозначим через и соответственно равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на k-ю МТ.

Используя этот закон, получим два следующих свойства внутренних сил СМТ:

· главный вектор всех внутренних сил, действующих на СМТ, всегда равен нулю:

; (1.1)

· главный момент всех внутренних сил, действующих на СМТ, относительно произвольного центра всегда равен нулю:

. (1.2)

Центр масс СМТ

Определение: Центром масс СМТ называется геометрическая точкаC, радиус-вектор которой определяется выражением:

, (1.3)

где М – масса СМТ, которая определяется соотношением:

. (1.4)

Спроектировав соотношение (1.3) на оси декартовой системы координат, получим формулы для координат центра масс СМТ:

. (1.5)

Моменты инерции СМТ

Определения моментов инерции относительно точки, оси и плоскости

Пусть СМТ состоит из n МТ с массами , ,.…, .

Определения:

Моментом инерции СМТ относительно точки О – J_O называется сумма произведений масс МТ на квадраты их расстояний – до точки О:

. (2.1)

Моментом инерции СМТ относительно оси (например оси z) – называется сумма произведений масс МТ на квадраты их расстояний – h_n до оси z:

. (2.2)

Моментом инерции СМТ относительно плоскости П – J_Пназывается сумма произведений масс МТ на квадраты их расстояний – d_n до плоскости П:

. (2.3)

Для того чтобы найти моменты инерции для НМС, необходимо НМС разбить на n элементарных частей, записать формулы (3.7) – (3.9) и в них перейти к пределу при n®¥. Тогда получим:

, (2.4) , (2.5)