Тепловая машина. Цикл Карно

6.1. Термический КПД тепловой машины:

где А – работа, совершаемая рабочим телом (газом) за цикл; Q ₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом за цикл от нагревателя; Q ₂ – количество теплоты, отданное за цикл окружающим телам.

6.2. Термический КПД цикла Карно – наиболее экономичного обратимого кругового процесса, состоящего из двух изотерм и двух адиабат (рис. 3):

где Q₁ – количество теплоты, которое газ получает при изотермическом расширении 1-2 при температуре нагревателя Т ₁; Q₂ – количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии 3-4 при температуре холодильника Т ₂. Рис.3

 

Пример 7. Температура пара, поступающего в паровую машину,

t ₁ = 127⁰C; температура в конденсаторе t ₂ = 27⁰C. Определить теоретически максимальную работу при затрате количества теплоты Q = 4,2 кДж.

 

Дано: t ₁ = 127⁰C; T ₁ = 127+273 = 400K; t ₂ = 27⁰C; T₂ =300K; Q₁=Q =4,2 кДж.

Найти: А.

Решение. Для того чтобы работа, совершаемая тепловым двигателем, была максимальной, необходимо, чтобы цикл, по которому работает двигатель, был обратимым. При наличии только двух термостатов – нагревателя (Т ₁) и холодильника (Т ₂) – возможен только один обратный цикл – цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис.3).

Коэффициент полезного действия этого цикла:

, (1)

но КПД любого теплового двигателя:

, (2)

где А – полезная работа, совершаемая двигателем за цикл; Q ₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя (в цикле Карно – это теплота, полученная в процессе изотермического расширения газа 1-2).

 

Приравнивая выражения (1) и (2), находим работу А:

Откуда

кДж.

Ответ: А = 1,05 кДж.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

7. 1. Средняя длина свободного пробега молекулы газа:

где d _эф – эффективный диаметр молекул газа; n – концентрация молекул газа.

7.2. Закон Фика для диффузии:

,

где Δ М – масса вещества, перенесенная в результате диффузии через площадь S, перпендикулярную оси X, за время Δt; - градиент плотности данного вещества; D - коэффициент диффузии этого вещества.

7.3. Коэффициент диффузии для газов:

где - средняя скорость теплового движения газовых молекул; - средняя длина свободного пробега молекул.

7.4. Импульс (количество движения), передаваемый молекулами от слоя к слою через элемент поверхности площади S за время Δt:

где - градиент скорости течения слоев; – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения).

7.5. Динамическая вязкость газа:

где ρ – плотность газа.

7.6. Закон Ньютона для силы внутреннего трения:

где F –сила внутреннего трения между движущимися слоями газа или жидкости, рис. 4. Рис.4

 

7.7. Закон Фурье для теплопроводности:

где ∆Q – количество теплоты, переносимой посредством теплопроводности через площадь S, перпендикулярную оси X, за время Δt; λ - коэффициент теплопроводности; - градиент температуры.

7.8. Коэффициент теплопроводности газа:

,

где – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

 

Пример 8. На высоте h = 20 см над горизонтальной трансмиссионной лентой, движущейся со скоростью u ₁ = 70 м/с, подвешена параллельно ей пластинка площадью S = 4 см² (рис.5). Какую силу надо приложить к этой пластинке, чтобы она оставалась неподвижной? Вязкость воздуха при нормальных условиях Па×с. В условиях опыта температура t =27⁰С.

 

Дано: h= 20 см, и₁ = 70 м/с, S = 4 см², Па×с, t= 27 ⁰C, Т = 300 К.

Найти: F.

Решение. Cлои воздуха, непосредственно находящиеся над движущейся лентой, увлекаются ею, и в воздухе создается некоторый градиент скоростей . Между слоями движущегося воздуха создается сила трения F _mp. Эта сила действует и на пластинку со стороны движущихся слоев. Пластинка будет неподвижна, если приложенная внешняя сила F и сила трения F_mp скомпенсируются, т. е. Рис.5

Сила трения может быть найдена по уравнению Ньютона:

, (1)

где - производная скорости и движения слоя по координате z, причем ось oz перпендикулярна плоскостям трансмиссии и пластинки, направлена от трансмиссии к пластинке.

Вязкость газа η может быть рассчитана по формуле:

Как видно, вязкость зависит только от природы газа (эффективного диаметра молекул d и молярной массы μ) и температуры T. Сравним вязкость при температуре Т с вязкостью при нормальных условиях (Т₀ = 273К):

.

Вязкость η при температуре Т связана с вязкостью η₀ при нормальных условиях соотношением:

. (2)

Градиент скорости направленного движения слоев газа считают постоянным. Производная , ее можно заменить отношением изменения скорости Δи к приращению координаты Δz, Δи = (0 – и₁), Δz = h (рис.5):

. (3)

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим:

.

Проверим размерность:

Н

Произведем вычисления:

Н.

Ответ: F = 2,5∙10^-6 H.

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

 

8.1. Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа:

· для одного моля газа

· для произвольной массы газа m

где Р – давление газа на стенки сосуда; а, в – постоянные Ван-дер-Ваальса, рассчитанные для одного моля газа (см. Приложение); V _μ – объем, занимаемый одним молем газа; V – объем, занимаемый газом.

8.2. Внутреннее давление в газе, обусловленное силами взаимодействия молекул:

или

 

Пример 9. 2 моля азота охлаждены до температуры –100⁰С. Определить давление Р, оказываемое газом на стенки сосуда, если объем, занимаемый газом, равен 0,1 л. Сравнить полученное давление Р с давлением Р _ид, которое имел бы азот, если бы сохранил при рассматриваемых условиях свойства идеального газа.

 

Дано: = 2 моля; t = - 100 ⁰C; Т = 173 К; V = 0,1л = 0,1ּ10^-3 м³ = 10^-4 м³.

Найти: Р/Р_ид.

Решение. Из уравнения состояния реального газа выразим давление Р:

Значения постоянных а и в находим по Приложению:

для азота а = 0,135 Н∙м ⁴/моль ²; в = 3,9 10^-5 м³/моль.

Произведем вычисления:

Па.

Для сравнения найдем давление Р_ид из уравнения состояния идеального газа :

Р_ид = 2 8,31∙173/10^-4 = 2880 ∙10⁴ = 0,28 ∙10⁸Па = 280 10⁵Па.

Тогда .

Следовательно, в этом случае уравнение Менделеева-Клапейрона непригодно для описания состояния охлажденного и сжатого азота.

Ответ: .