Дифференциальное и интегральное исчисление

Производная сложной функции

Определение производной

Рассмотрим функцию , где (рис. 31). Возьмем произвольную точку . Для любого разность х – х ₀ называется приращением аргумента х в точке х ₀ и обозначается . Таким образом,

Разность называется приращением функции в точке х ₀.

Производной функции в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует и обозначается

Функция, имеющая производную в точке х _0, называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.