Применение второго замечательного предела

- второй замечательный предел

Пример 1. Вычислите .

Решение. Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени 5 х таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель (2 х /3). Для этого 5 х домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:

.

е

Применив к выражению в скобках второй замечательный предел, получим, что .

Ответ: =

 

Непрерывность функции. Асимптоты функции   Определение 1. Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только слева от точки хо, то такой предел называется левосторонним и обозначается . Определение 2. Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной х только справа от точки хо, то такой предел называется правосторонним и обозначается . Пример 1.Вычислите односторонние пределы функции в точке . Решение. Для нахождения левостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при <-2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: . При нахождении правостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при > -2 наша функция задается формулой . Таким образом, получим: . Ответ =2, =0. Определение 3. Функция у=f(x) называется непрерывной в точке хо, если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Определение 4. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода. Определение 5. Точка разрыва хо называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. и . Определение 6. Если А1 = А2, то точка хо называется точкой устранимого разрыва. Определение 7. Точка разрыва хо называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности. Пример 2. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически: Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют и конечны. Следовательно, точка является точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг другу, точка будет точкой устранимого разрыва. Ответ: - точка разрыва функции I рода (точка устранимого разрыва). Пример 3. Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически: Решение: Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют, и оба равны бесконечности. Следовательно, точка является точкой разрыва II рода функции. Ответ: - точка разрыва функции II рода. Пример 4.Найдите точки разрыва функции у= и определите их род. Решение. Функция у= является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения. Найдем D (у): х2 -1≠0; х ≠1 и х ≠-1. Получили, что точки и являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем односторонние пределы функции в указанных точках. Для точки , следовательно, - точка разрыва II рода. Для точки , . Следовательно, - точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то – точка устранимого разрыва. Положив у= при , разрыв устранится, функция станет непрерывной Ответ: - точка разрыва функции II рода, - точка разрыва функции I рода. __________________________________________________________________ Определение 8. Прямая, к которой неограниченно приближается график функции, называется асимптотой этой функции.   Вид Уравнение Условие вертикальная Х = х0 (х0 – точка разрыва) горизонтальная У = b наклонная У = кх + b(к) Пример 5. Найдите асимптоты графика функции Решение: Найдём точки разрыва функции, для этого . Д = 4, 1) вертикальная асимптота, - вертикальная асимптота 2) - у = 0- горизонтальная асимптота. 3) , к = наклонных асимптот нет. Ответ: х = 3 и х = 1 – вертикальные асимптоты, у = 0 – горизонтальная асимптота.