Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Выделим на координатных осях единичные векторы (орты) соответственно.
Выберем произвольный вектор , совместим его начало с началом координат: .
Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки их пересечения с осями обозначим .
.
По определению суммы: .
Действительно, , а т.к. , то .
Но .
Обозначим проекции вектора на оси соответственно , т.е. .
Тогда
(1)
Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Равенство (1) часто записывают в символическом виде .
Очевидно равенство
(длина диагонали прямоугольного параллелепипеда), т.е.
. (2)
Отсюда,
т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на координатные оси.
Пусть углы вектора с осями соответственно равны . По свойству 1 проекции вектора на ось имеем
|
|
, (3)
или
.
Числа называются направляющими косинусами вектора .
Подставив равенства (3) в формулу (2), получим
.
Сократив на , получим соотношение
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Ясно, что .