Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Выделим на координатных осях единичные векторы (орты) соответственно.

Выберем произвольный вектор , совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки их пересечения с осями обозначим .

.

По определению суммы: .

Действительно, , а т.к. , то .

Но .

Обозначим проекции вектора на оси соответственно , т.е. .

Тогда

(1)

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Равенство (1) часто записывают в символическом виде .

Очевидно равенство

(длина диагонали прямоугольного параллелепипеда), т.е.

. (2)

Отсюда,

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на координатные оси.

Пусть углы вектора с осями соответственно равны . По свойству 1 проекции вектора на ось имеем

, (3)

или

.

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставив равенства (3) в формулу (2), получим

.

Сократив на , получим соотношение

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Ясно, что .