Линейные операции над векторами

Векторы. Основные определения

Определение. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если - начало вектора, а - его конец, то вектор обозначается символом (или ).

Вектор (у него начало в точке , а конец в точке ) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Определение. Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают .

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Два вектора и называются равными (), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Определение. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно находить также по правилу параллелограмма.

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что .

В параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая – разностью.

Произведением вектора на число называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .