Общие замечания к изучению курса

Для выполнения контрольной работы по курсу «Оптимизационные методы и модели» и сдачи экзамена необходимо творческое, самостоятельное освоение программы курса. Этому должны способствовать примеры решённых задач в данных указаниях, а также специально организованные консультации в течение учебного года.

Контрольная работа состоит из пяти заданий. Необходимо выполнить по одной задаче из каждого задания согласно своему варианту. Номер варианта выбирается согласно двум последним цифрам номера зачётной книжки.

Программа курса

« Оптимизационные методы и модели »

Введение. Предмет и объект экономико-математического моделирования. Исторический экскурс моделирования в экономике. Случайность и неопределенность экономического развития.

1. Основные определения из алгебры и теории выпуклых множеств. Матрицы. Определители. Миноры. Алгебраические дополнения. Векторы. Понятие n -мерного векторного пространства. Линейная зависимость системы векторов, ранг системы векторов. Разложение вектора по векторам базиса. Системы уравнений. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений. Виды решений систем линейных уравнений: общее, базисное Собственные числа и собственные векторы. Выпуклые множества.

2. Математическое моделирование экономических систем. Требования к экономическим моделям. Методика составления математических моделей. Примеры составления математической модели: постановка и математическая модель задачи оптимального планирования, на смеси и соединения, раскроя материалов, транспортной, о назначении, балансовая модель (модель В. Леонтьева), модель международной торговли.

3. Постановка задач линейного программирования ЗЛП. Общая ЗЛП. Стандартная форма ЗЛП. Каноническая форма ЗЛП. Переход от произвольной ЗЛП к каноническому виду. Формы записи ЗЛП: общая, векторная, матричная.

4. Графическое решение простейших ЗЛП. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования с двумя неизвестными и с n неизвестными.

5. Свойства ЗЛП. Теорема о представлении. Теорема об экстремуме целевой функции. Свойства решений ЗЛП. Теорема об опорном плане.

6. Симплексный метод решения ЗЛП. Идея симплекс-метода. Офор- мление симплексных таблиц. Симплексное отношение. Критерий оптимальности. Переход от одного плана к другому. Вырожденность в симплексном методе. Альтернативный оптимум. Отсутствие решения. Метод искусственного базиса. Несовместность условий в линейном программировании. Двойственный симплекс–метод. Методика решения задачи симплекс-методом с использованием Microsoft Excel.

7. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация двойственной задачи и ее решения. Правило составления двойственных задач. Связь между прямой и двойственной задачами. Теоремы двойственности. Нахождение решения двойственной задачи на основании прямой. Экономический анализ решения ЗЛП с помощью Excel. Анализ чувствительности оптимального решения оптимизационных задач.

8. Транспортная задача линейного программирования. Транспортная задача, ее модель. Теорема об оптимальном плане транспортной задачи. Методы построения первоначального опорного плана транспортной задачи. Метод потенциалов. Критерий оптимальности. Переход от одного плана к другому, опорному. Вырожденность в транспортной задаче. Альтернативный оптимум в транспортной задаче. Запреты в транспортной задаче. Задача о назначении.

9. Задача динамического программирования. Идея решения задач динамического программирования. Принцип оптимальности и рекуррентное соотношение Беллмана. Задача о распределении капитальных вложений и ее решение.

10. Методы решения специальных задач разных разделов математического программирования. Экономическая постановка и математическая модель задачи целочисленного программирования. Геометрическая интерпретация решений на плоскости. Решение задач целочисленного линейного программирования. Метод Гомори, метод ветвей и границ. Экономическая постановка и математическая модель задачи дробно-линейного программирования. Геометрическая интерпретация решений на плоскости. Приведение задач дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования. Экономическая постановка и математическая модель задачи нелинейного программирования, её геометрическая интерпретация. Градиентные методы решения нелинейных задач. Метод множителей Лагранжа. Квадратическое программирование. Область применения нелинейных оптимизационных задач.