Теорема 5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если - количество наступлений события А и n независимых испытаниях по схеме Бернулли, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью . Тогда для любых а и b, a<b, имеет место предельное соотношение

. (6)

 

Эта теорема позволяет приближенно находить вероятность того, что количество успехов заключено между и . Т.к. неравенство равносильно неравенству

 

, (7)

то при можно приближенно записать

,

где или, выражая интеграл через функцию Лапласа:

. (8)

Теорема 6. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна , то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, удовлетворяет соотношению

, (9)

где .

Таким образом, для достаточно больших n и k можно приближенно вычислить

. (10)

Пример 6.

Вероятность брака при производстве изделия равна 0,01. Изготовлено 1000 изделий. Найти вероятность того, что количество бракованных изделий а) лежит в пределах от 5 до 15; б) более 20; в) равно 10.

Решение.

Используем интегральную теорему М-Л:

а)

б)

в) Используем локальную теорему М-Л:

;

Здесь - функция Лапласа.

-

формула связи функции Лапласа и стандартной функции нормального распределения . Функция Лапласа – четная, т.е.

.