2017-12-14
524
. (2.3)
Событие А независимо от В, если вероятность появ-ления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Если события А и В независимы (они совместны), то вероятность появления и события А, и события В равна:
, (2.4)
а в общем виде 
. (2.5)
В урне два кубика – черный и белый и два шарика – черный и белый. Вероятность появления черного кубика равна произведению вероятностей появления черного цвета и кубика, т.е. 1/2×1/2=1/4.
Из формулы (2.4) видно, например, что если событие А (появление максимальной ветровой нагрузки) и событие В появление максимальной снеговой нагрузки) – независимы, то вероятность одновременного появления А и В (т.е. максимумов нагрузок) меньше вероятности появления одного из событий (максимумов нагрузки) 
.
Вероятность 
тем меньше, чем меньше 
и 
. А если А и В зависимы, то это учитывается условной вероятностью появления одного из их при появлении другого. Формула (2.5) иллюстрируется последовательным соединением. Вероятность неразрушения последовательной системы:
|
|
|
, (2.6)
где 
, i =1, 2, 3 – вероятности неразрушения i‑ го элемента системы; 
– событие, состоящее в неразрушении i- го элемента системы.
Пример последовательного соединения: статически определимая сис-тема, так как разрушение всей системы происходит при разрушении хотя бы одного из элементов, таким образом, вероятность неразрушения всей системы меньше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента.
Формула (2.4) также иллюстрируется и параллельным соединением. Вероятность разрушения параллельной системы:
, (2.7)
где 
– вероятности разрушения i- го элемента системы.
Вероятность неразрушения параллельной системы:
, (2.8)
или в общем виде: 
. (2.9)
Пример параллельного соединения: статически неопределимая сис-тема, так как разрушение всей системы происходит при разрушении всех избыточных и еще одной связей. Таким образом, вероятность неразру-шения всей системы больше вероятности неразрушения любого ее отдель-ного элемента. Однако в действительности в статически неопределимой системе вероятности разрушения элементов системы не независимы, так как разрушение одного элемента из-за перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения остальных элементов.
Например, при диаграмме Прандтля «условное» разрушение одного элемента статически неопределимой системы (т.е. напряжение в этом элементе при увеличении N остается постоянным и равным 
) в меньшей степени приводит к перераспределению усилий, а, следовательно, и к изменению вероятностей разрушения. Таким образом, статически неопре-делимая система со стержнями, работающими по диаграмме Прандтля, больше подходит в качестве примера для параллельной системы.
|
|
|
Если случайные события А и В совместны (и независимы), то вероятность появления или А или В:
, (2.10)
. (2.11)
Если случайные события А и В зависимы (и совместны) и вероятности их появления Р(А) и Р(В), то вероятность совмещения событий А и В (произойдет и А и В):
, (2.12)
где 
– условная вероятность, т.е. вероятность появления события В, при условии, что событие А произошло. Аналогично
. (2.13)
Например, в урне два черных и два белых шара. Событие А – появление белого шара с первого раза, событие В – появление белого шара со второго раза. Вероятность появления белого шара два раза подряд определяется формулой:
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) =1/2·1/3=1/6.
Из формул (2.12) и (2.13) можно получить:
, (2.14)
где 
– априорная вероятность появления события А, определенная до того как стала известна информация о событии В; 
– апостериорная вероятность появления события А, основанная на той информации, что А и В произошли, но мы определяем вероятность того, что перед В было А.
Если А и В независимы, то 
и наоборот.
Пусть имеется n несовместных событий 
с вероятностями их появления 
и пусть 
– условные вероятности осуществления события В с одним из n событий . То есть события В и А 1, В и А 2,…, В и А n – зависимы и совместны. Тогда вероятность осуществления события В:
. (2.15)
