Свойства функции плотности распределения

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция р(х)³ 0.

2. , (3.7)

что эквивалентно Р(¥)=1.

3. Размерность р(х) обратная размерности с.в., а Р(х) – безразмерна.

4. Числовые характеристики распределения.

Математическое ожидание с.в. Х:

– дискретной , (3.8)

при этом (М(x) – случайна при n¹¥);

– непрерывной (3.9)

Математическое ожидание – достоверная величина, так как вероятность того, что при n =¥ испытаниях мы получим среднее арифметическое М(X)= равна 1.

М(с)=с, М(сx) = сМ(x), где с – неслучайное число.

Для независимых с.в. Х ₁ и Х ₂

М(x₁+x₂)=М(x₁)+М(x₂), М(x₁x₂)=М(x₁)М(x₂), М(x²)=[М(x)]²+D(x).

К математическому ожиданию стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений с.в. при количестве испытаний n ®¥. Геометрически м.о. – это абсцисса ц. т. площади под кривой плотности распределения. Размерность м.о. совпадает с размерностью с.в.

Дисперсия с.в. Х – м.о. квадрата отклонения с.в. Х от ее м.о. (центра распределения):

D(x)=M[x-M(x)]²=M(x²)-M²(x),

так как M[x-M(x)]²=M[x²-2xM(x)+M²(x)]=M(x²)-2M²(x)+M²(x),

M[2xM(x)]=2M²(x) и M[M(x)]=M(x).