Движение в полях. Потенциальные кривые. 1. Пустьпотенциальнаяэнергияпостоянна.Безнарушенияобщностиможносчитать U =0

Примеры.

1. Пустьпотенциальнаяэнергияпостоянна.Безнарушенияобщностиможносчитать U =0. Тогда dt = m 2E dx, t = m 2E x, или x = 2E m t.

Поскольку E = mv2/2, это то же самое, что x = vt. Энергетический подход по сравнению со «школьным» в этом простом примере не дает особых преимуществ.

2. Рассмотрим тело массы m, прикрепленное к горизонтально расположенной пружине жесткости k. Тогда потенциальная энергия U = kx2/2. Выражение для приращения времени примет вид: dt = m 2 dx √E −U = m k dx2E/k−x2. Для краткости обозначим 2E/k = x0 – это максимальное отклонение массы от положения равновесия. Для зависимости t(x) получим:

t = m k

x 0

dxx2 0 −x2

.

Чтобы найти интеграл (хотя он «табличный»), сделаем замену переменной. Пусть x = x0 siny. Тогда имеем: x2 0 −x2 = x0 cosy;dx = dxdy ·dy = x0 cosy·dy. Отсюда окончательно получаем:

t = m k

y 0

x0 cosydy x0 cosy

= m k

y = m k ·arcsinx x0.

Теперь можно найти x(t): x = x0 sin(k/m· t). Получили колебательное движение, чего и можно было ожидать сразу.

Значениезаконовсохранениявыходитзапределыфизики,распространяясьдажена биологию,экономику, ит.д.Онипорождаютновыйспособмышления,основакоторого– не динамика, а ограничения на нее. В физике же законы сохранения настолько важны, что для любой задачи прежде всего стоит подумать, нельзя ли их применить.

58 Глава 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 4.5 Законы сохранения и свойства пространства – времени

Рассмотрим довольно неочевидные следствия свойств пространства и времени. Оказывается, однородность пространства тесно связана с законом сохранения импульса, а однородность времени – с законом сохранения энергии. Как мы выяснили в гл. 2, уравнения движения замкнутой системы частиц имеют вид

mi

dvidt

=k =i

Fki,

где mi – массы частиц, vi – векторы их скоростей, Fki – сила, действующая на частицу i со стороны частицы k. Поскольку система замкнута, внешних сил нет. Для упрощения удобно рассмотреть всего две частицы, движущиеся в одном измерении (вдоль оси x):

m1

dv1dt

= F21,m 2 dv2 dt

= F12. (4.1)

Ограничимся важным частным случаем, когда сила взаимодействия потенциальна, т.е. существует потенциальная энергия, зависящая от координат, U(x1,x2), тогда F21 =−∂U ∂x1,F 12 =−∂U ∂x2. В этих терминах однородность пространства означает попросту, что потенциальная энергия должна зависеть от разности координат частиц: U = U(x1 − x2). Именно в этом случае (и только в этом) при сдвиге всей системы на некоторое расстояние потенциальная энергия не изменяется и, значит, не изменится поведение системы. Но при такой зависимости легко видеть, что F21 =−F12 (третий закон Ньютона). Тогда, складывая уравнения движения (4.1), получим m1 dv1 dt + m2dv2 dt = F21 + F12 =0, или d dt (m1v1 + m2v2)=0, что и означает сохранение (неизменность во времени) полного импульса системы:

P = m1v1 + m2v2 = const.

Для того, чтобы рассмотреть закон сохранения энергии, запишем выражение, следующее из уравнений динамики (4.1):

m1v1

dv1 dt

+ m2v2dv2 dt

= v1F21 + v2F12 ≡−v1 ∂U ∂x1

+ v2 ∂U ∂x2. (4.2) Левая часть уравнения (4.2) – не что иное, как производная по времени кинетической энергии системы K: m1v1 dv1 dt + m2v2dv2 dt ≡ d dtm1v2 1 2 + m2v2 2 2 = dKdt. Теперь предположим, что потенциальная энергия не зависит от времени явно. Это не значит, что она вообще не изменяется со временем. Например, если частицы соединены пружинкой жесткости k, то при движении пружинка, вообще говоря, изменяет свою длину L = x2 −x1,

4.5. Законы сохранения и свойства пространства – времени 59

из-за чего меняется и U = k(L − L0)2/2. Но это –неявная зависимость, т.е. зависимость «через координаты», а явная могла бы выглядеть так: U = at(L−L0)2/2, гдеa – постоянный коэффициент. В отсутствие явной зависимости производную U(x1(t),x2(t)) по времени можно записать как производную сложной функции:

dUdt

= ∂U ∂x1

dx1 dt

+ ∂U ∂x2

∂x2 dt

= v1 ∂U ∂x1

+ v2 ∂U ∂x2

.

Именно такое выражение стоит в скобках в правой части (4.2). Поэтому имеем

dKdt

+ dUdt

=0,

т.е. сохраняется полная механическая энергия системы:

E = K + U = const.

Условием же ее сохранения является отсутствие явной зависимости U(t), что и означает однородность времени. (Если допустить явную зависимость, получилось бы равенство

dKdt

+ dUdt

= ∂U ∂t =0,

т.е. энергия не сохранялась бы). Мы использовали довольно ограничительные предположения. В действительности законы сохранения в физике имеют более широкую область применимости. Например, для сохранения импульса не обязательно даже существование потенциальной энергии: импульс прекрасно сохраняется при столкновении пластилиновых шариков. Энергия сохраняется и в таких процессах, как падение камня на песок, когда и потенциальная, и кинетическая энергии обращаются в нуль. (Разумеется, в этом случае надо разумным образом обобщить понятие энергии, включив в нее тепловую составляющую). Но важно осознать тесную связь между импульсом и координатами, а также энергией и временем, которую мы еще будем не раз отмечать. Именно из-за этой связи законы сохранения энергии и импульса имеют наиболее фундаментальный характер и выполняются не только в механике, но и во всех вообще физических процессах2.

http://zaykan.narod.ru/teor/fiz/4conser.pdf

Закон сохранения импульса

Теория:

Рассмотрим изменение импульсов тел при их взаимодействии друг с другом.

Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (то есть не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.

Импульс, равный векторной сумме импульсов тел, входящих в замкнутую систему, называется суммарным импульсом этой системы.

Таким образом, чтобы найти суммарный импульс замкнутой системы n тел, необходимо найти векторную сумму импульсов всех тел, входящих в данную систему:

 

pсум→=p1→+p2→+...+pn→

 

Импульс каждого из тел, входящих в замкнутую систему, может меняться в результате их взаимодействия друг с другом.

Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.

В этом заключается закон сохранения импульса, который называют также законом сохранения количества движения.

Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом. В одном из своих писем он написал:

Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает. Рассмотрим систему, состоящую только из двух тел — шаров массами m1 и m2, которые движутся прямолинейно навстречу друг другу со скоростями v1 и v2. Шары обладают импульсами p1→=m1v1→ и p2→=m2v2→ соответственно.

 

 

Через некоторое время шары столкнутся. Во время столкновения, длящегося в течение очень короткого промежутка времени \(t\), возникнут силы взаимодействия F1→ и F2→, приложенные соответственно к первому и второму шару. В результате действия этих сил скорости шаров изменятся. Обозначим скорости шаров после соударения v1′ и v2′. И импульсы шаров станут p1→′=m1v1→′ и p2→′=m2v2→′ соответственно.

 

 

Тогда согласно закону сохранения импульса имеют место равенства:

p1→+p2→=p1→′+p2→′

или

m1v1→+m2v2→=m1v1→′+m2v2→′

Данные равенства являются математической записью закона сохранения импульса.

 

Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.

Таким образом, более точно закон сохранения импульса формулируется так:

векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы — величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.

Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.

Пример:

При стрельбе из пушки возникает отдача: снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Почему?

Снаряд и пушка — замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса. В результате выстрела из пушки импульс самой пушки и импульс снаряда изменятся. Но сумма импульсов пушки и находящегося в ней снаряда до выстрела останется равной сумме импульсов откатывающейся пушки и летящего снаряда после выстрела.

Обрати внимание!

В природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.

Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.

 

Великий учёный Исаак Ньютон изобрел наглядную демонстрацию закона сохранения импульса — маятник или как ее еще называют — колыбель. Это устройство представляет собой конструкцию из пяти одинаковых металлических шаров, каждый из которых крепится с помощью двух тросов к каркасу, а тот в свою очередь к прочному основанию П-образной формы.

 

 

Маятник Ньютона устроен так, что начальный шар передаёт импульс второму шарику, а затем замирает. Нашему глазу на первый взгляд незаметно, как следующий шарик принимает импульс от предыдущего, мы не можем проследить его скорость. Но, если взглянуть пристальнее, можно заметить, как шарик немножко “вздрагивает”. Это объясняется тем, что он совершает движения с посланной ему скоростью, но поскольку расстояние очень маленькое, и ему некуда разогнаться, то он может на своем коротком пути передать импульс третьему шарику и в итоге остановиться.

Такое же действие совершает и следующий шарик, и так далее. Последнему шарику некуда передавать свой импульс, поэтому он свободно колеблется, поднимаясь на определенную высоту, а затем возвращается, и весь процесс передачи импульсов повторяется в обратном порядке.

 

Самый яркий пример применения закона сохранения импульса — реактивное движение.

 

http://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/zakony-sokhraneniia-v-mekhanike-90005/zakon-sokhraneniia-impulsa-105698/re-915e7d06-7cf4-4882-b2a8-577ab707c330