Глава 4. Законы сохранения. Пустьграфик u(x) имеет вид, показанный на рисунке 4. 4

Пустьграфик U(x) имеет вид, показанный на рисунке 4.4. Закон сохранения энер

гии

mv2 2

+ U(x)=E позволяет сразу сделать полезные выводы. Полная энергия E постоянна и задана, а кинетическая энергия положительна. Поэтому движение возможно только при условии U<E. Проведем на рисунке несколько возможных уров

Рис. 4.4.

ней энергии E1,E 2,E 3,. При полной энергии, равной E1, график U проходит ниже уровня энергии в довольно ограниченной области. В этой потенциальной яме только и возможно движение частицы. С приближением к стенке ямы (где U = E) кинетическая энергия и, значит, скорость обращаются в нуль. Частица разворачивается и идет назад; движение имеет колебательный характер. Если увеличить полную энергию до E2, то область движения расширяется. Заметим, что справа появилась еще одна разрешенная область, в которой частица либо сразу движется вправо, либо сначала влево, а после отражения от стенки ямы – вправо. Попасть из одной области в другую частица не может. Наконец, при энергии E3 (выше потенциального барьера) частица может двигаться во всей изображенной области. Возможно, она уйдет на бесконечность, а может быть, отразится от барьеров, которые на рисунке не поместились. Очень помогает наглядно представить себе движение такая аналогия. Согнем проволочку точно в виде графика U(x) и поставим вертикально. Тогда потенциальная энергия бусины, надетой на проволочку, mgh, как раз будет иллюстрировать состояние частицы в нашем поле. Уровень энергии задается начальным положением бусины: выше она никак не поднимется. В общем, из состояния покоя потенциальная энергия стремится уменьшиться (бусина соскальзывает ниже). Качественно движение бусины (или шарика в яме такой формы) будет похоже на движение частицы. Перейдем к полному решению задачи о движении частицы. Из закона сохранения энергии находится скорость в зависимости от координаты: v(x)= 2(E−U) m. Поскольку v =∆x/∆t, можно найти интервал времени для прохождения расстояния ∆x: ∆t = m 2 ∆x √E −U или dt = m 2 dx √E −U. Интегрируя, находим движение, правда, в виде обратной функции t(x).