Глава 4. Законы сохранения. Для замкнутой системы. Например, бросим вверх камень со скоростью V

для замкнутой системы. Например, бросим вверх камень со скоростью V. Замкнутой системой будет (камень+Земля). Энергия этой системы

E =

mv2 2

+ mgh,

если не писать собственных энергий Земли и камня, не меняющихся в таком опыте. Кинетической энергией Земли можно пренебречь. Из закона сохранения энергии mv2/2+mgh = mV 2/2. Можно найти скорость v на любой высоте в одну строчку: v = V 2 −2gh. Легко находится и максимальная высота подъема: при v =0будет h = V 2/2g. Из динамики полета этот результат получается гораздо сложнее, причем пришлось бы находить ненужные в этой задаче зависимости h,v от времени. Если учесть спадание силы тяжести, потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей U = −GMm/r. На бесконечности (реально большом удалении, то есть на много радиусов Земли R) U =0. Запишем закон сохранения энергии

mV 2 2 −

GMm R

=

mv2 2 −

GMm r

,

где r – текущий радиус, v – скорость тела на этом радиусе (обратите внимание на знаки!) С удалением от Земли потенциальная энергия растет, кинетическая падает. Если v упадет до нуля на бесконечности, то скорость запуска V будет называться второй космической: V2 = 2GM/R = √2gR ≈ 11 км/с. (Первая космическая скорость V1 – это скорость обращения на низкой орбите, когда центростремительное ускорение V 2 1 /R = g. Видно, что V1 = √gR ≈ 8 км/с). Заметим, что при постоянной силе тяжести улететь на бесконечность нельзя ни при какой скорости: потенциальная яма mgh оказывается бесконечно глубокой. (Подробнее о потенциальных ямах мы поговорим в п. 4.4). Что будет, когда брошенный вверх камень упадет на Землю? И кинетическая, и потенциальная энергия исчезнут. Можно было бы сказать, что при ударе энергия не сохраняется. Но более плодотворным оказался другой подход. При ударе происходит деформация и нагрев камня и места падения на Земле. Изменению температуры оказалось возможным сопоставить тепловую энергию, количество которой строго соответствует рассеявшейся механической. В рамках механики этого доказать нельзя, и мы пока просто примем к сведению существование тепловой энергии. Известно, что возможен и обратный переход, когда тепловая энергия преобразуется в механическую. На этом принципе работают тепловые двигатели, примером которых является паровоз. Законы сохранения позволяют во многих случаях предсказать результат, не рассматривая сложной динамики. Полезно в любой задаче прежде всего прикинуть, не применимы ли здесь законы сохранения. Задача. Почему при бросании камня можно не учитывать кинетическую энергию Земли, хотя импульсы Земли и камня по величине одинаковы?