Соударения тел. Внутренняя энергия системы 53

Такая механическая система моделирует неупругий удар, который может происходить в реальных ситуациях. Запишем законы сохранения:

mV +0=mu1 + Mu2,

mV 2 2

+0=

mu2 1 2

+

mu2 2 2

+ Q. Можно получить квадратное уравнение, исключив u1 или u2. Но полезнее опять обходной путь. Менее громоздкие формулы получаются в системе центра масс (с.ц.м.). Скорость этой системы Vc равна отношению полного импульса системы тел к ее полной массе: Vc = mV m + M. Для перехода вс.ц.м. надо отнять Vcот каждой скорости:

v1 = V −Vc =

MV m + M

и v2 =− mV m + M

.

Полный импульс mv1 + Mv2 вс.ц.м., разумеется, равен нулю. Импульсы тел до взаимодействия по величине одинаковы и равны

mM m + M

V ≡ µV. Комбинация масс µ = mM/(m + M) называется приведенной массой системы. Отметим, что эта масса, характеризующая систему как целое, отнюдь не будет суммой масс тел. Приведенная масса меньше наименьшей из масс тел, при одинаковых массах m = M получаем µ = m/2. Из сохранения импульса как во время удара, так и после импульсы тел всегда будут противоположны: p1 + p2 =0. Кинетическую энергию запишем через импульсы:

p2 1 2m

+

p2 2 2M ≡

p2 2 1 m

+

1 M = p2 2µ

.

Опять появилась приведенная масса. Подставляя начальный импульс µV, найдем полную начальную энергию системы вс.ц.м.: E0 = µV 2/2. Теперь закон сохранения энергии пишется очень просто: p2 2µ + Q = µV 2 2. Отсюда находим импульс и скорость каждого тела после взаимодействия: p =2µ µV 2 2 −Q,

u1 = −

√2µ m µV 2 2 −Q, u 2 =

√2µ M µV 2 2 −Q.

54 Глава 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Выбор знаков ясен: направления скоростей меняются на противоположные. Для обратного перехода в лабораторную систему нужно добавить к каждой скорости Vc:

u1 =

m m + M

V −

√2µ m µV 2 2 −Q, u 2 =

m m + M

V +

√2µ M µV 2 2 −Q.

Теперь рассмотрим частные случаи.

1. Q =0(упругий удар). Хотя Q и стоит в формулах, ничто не мешает считать его нулевым. Скажем, скорости налетающего тела могло не хватить для продавливания пружины до защелки, и пружина вернулась в исходное состояние. Тогда получаем уже знакомые формулы

u1 =

m−M m + M

V, u 2 =

2m m + M

V,

следующие из решения задачи об упругом ударе при v2 =0.

2. Q>0 (неупругий удар). Для этого как минимум надо, чтобы начальная кинетическая энергия вс.ц.м. µV 2/2 превышала Q. (Может показаться, что нужно mV 2/2 >Q, но этого недостаточно: часть энергии налетающего тела идет на разгон второго). Если масса M очень мала, потребуется огромная начальная энергия mV 2/2 Q. При малом превышении порога, то есть µV 2/2−Q ≈ 0, обе скорости равны Vc, а в с.ц.м. тела останавливаются. Такое решение описывает, например, химическую реакцию, требующую затрат внешней энергии.

3. Q<0. Этот случай описывает реакцию с тепловыделением. Например, при термоядерной реакции дейтерия и трития выделяется значительная энергия |Q| = 17,6 МэВ (17,6 миллионов электронвольт; электронвольт – удобная для атомной физики единица энергии: 1 эВ = 1,6·10−19 Дж= 1,6·10−12 эрг). Реакция записывается так: 2D+ 3T = 4He+n+ Q, где D – ядро дейтерия (тяжелый водород с массой ядра 2), T – трития (сверхтяжелый водород, масса 3), He – гелия (масса 4), n – нейтрон (масса 1). Поскольку в реакции ожидается значительное выделение энергии, кинетическими энергиями до удара вообще можно пренебречь (они порядка 10 кэВ). В этом случае механическим аналогом будет система с уже сжатой пружиной, легкое прикосновение к которой освобождает запасенную энергию. Тогда можно считать, что мы находимся в системе центра масс. Поскольку импульсы противоположны, быстрее летит легкая частица. Кинетические энергии продуктов p2/2m делятся обратно пропорционально массам – в отношении 4/5 к 1/5. Нейтрон получает основную долю энергии – 14 МэВ, а на долю ядра гелия (α – частицы) остается 3,6 МэВ. Заметим, что только α – частицы нагревают реакционную смесь и способствуют