Ультрафиолетовая катастрофа

Несмотря на детальное изучение характеристик теплового излучения, математический вид функции долгое время оставался для физиков загадкой. Английские учёные Дж. Рэлей и Дж. Джинс попытались теоретически вывести зависимость , исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT – одна половинка на электрическую, вторая – на магнитную энергию волны (по классическим представлениям на каждую степень свободы приходится в среднем энергия, равная ). Получалось, что средняя энергия классического осциллятора равна

. (20.12)

Спектральная энергетическая светимость связана со средней энергией осциллятора :

, (20.13)

поэтому Рэлей и Джинс получили:

. (20.14)

Эти результаты хорошо согласовывалась с данными опыта только в области малых частот излучения. На рис.20.5 пунктир соответствует формуле Рэлея-Джинса; сплошная кривая – экспериментальная зависимость. Для больших частот (20.14) даёт . Полная энергетическая светимость по формуле Рэлея-Джинса также равна бесконечности. С точки зрения классической физики вывод формулы Рэлея-Джинса безупречен, но она оказалась неверна.

Классическая физика оказалась несостоятельной при описании теплового излучения. Невозможность решения проблемы теплового излучения методами классической физики назвали «ультрафиолетовой катастрофой».

Квантовая гипотеза и формула Планка

Причина «ультрафиолетовой катастрофы» оказалась лежащей чрезвычайно глубоко. Законы классической электродинамики давали неверный результат при рассмотрении элементарных процессов, обуславливающих тепловое излучение.

Выход из создавшегося положения указал Макс Планк, выдвинув гипотезу, совершенно чуждую представлениям классической физики. Он предположил, что электромагнитное излучение испускается и поглощается дискретными порциями энергии – квантами электромагнитного поля (фотонами). Энергия такого кванта пропорциональна частоте колебаний

, (20.15)

а коэффициент пропорциональности h =6.63.10-34Дж. с – постоянная Планка – получил название в честь автора квантовой гипотезы.

Так как излучение испускается порциями, то энергия квантового осциллятора ε может принимать лишь определённые дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии ε0: ε= nhν (n =0, 1, 2…). Средняя энергия квантового осциллятора равна

, (20.16)

где k= 1.38.10-23Дж/с – постоянная Больцмана. Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия расход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой ν должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал, что

. (20.17)

Тогда спектральная плотность энергетической светимости АЧТ

, (20.18)

или, при переходе от частоты к длине волны по (20.3):

. (20.18а)

Это и есть формула Планка. Если бы для определения средней энергии осциллятора Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статистики, он получил бы из (20.17) и (20.13) формулу Рэлея-Джинса (20.14).

Формула Планка правильно описывает экспериментальную кривую рис.20.2 и 20.4; на её основе были объяснены все экспериментально открытые законы теплового излучения, не находившие своего объяснения в рамках классической физики. Так, например, из (20.18а) и (20.4) можно получить закон Стефана-Больцмана (20.10) интегрированием функции Планка по всему интервалу длин волн:

, (20.19)

где

(20.20)

Из формулы Планка можно получить также законы Вина, решив уравнение . Кроме того, формула Планка удовлетворяет принципу соответствия – в области малых частот, когда hν<<kT, (20.18) переходит в формулу Рэлея-Джинса (20.14).