Задания для задачи 2

 

№
H, м	5,2	5,4	5,6	5,8		6,2	6,4	6,6	6,8
a, м	1,2	1,4	1,6	1,8		2,2	2,4	2,6	2,8
b, м	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9

 

ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

Гидродинамикой называется раздел механики жидкости, в котором изучаются законы движения жидкостей, а также применение этих законов к решению инженерных задач.

Основными гидродинамическими параметрами жидкости являются скорость движения жидкости и гидродинамическое давление. Скорость движения жидкости в данной точке пространства называется местной скоростью. Если местная скорость и давление не зависят от времени, то движение жидкости называется установившимся. Далее будем рассматривать только установившееся движение.

Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой вектор местной скорости направлен по касательной к этой линии. Трубкой тока называется поверхность, образованная линиями тока, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Масса жидкости внутри трубки токи называется элементарной струйкой жидкости. Предельным положением элементарной струйки является линия тока. Совокупность (множество) элементарных струек образуют поток жидкости.

Живым сечением потока ω называется поверхность, проведенная ортогонально (перпендикулярно) всем линиям тока.

Движение жидкости называется равномерным, если оно одновременно удовлетворяет двум условиям:

1) живые сечения постоянны;

2) местные скорости постоянны вдоль линии тока.

В противном случае движение называется неравномерным. Из определения следует, что при равномерном движении линии тока прямые, а живые сечения – плоские. Эти условия необходимые, но не достаточные.

Неравномерные движения, характеризующиеся изменяющимися живыми сечениями, подразделяются на:

1) плавно изменяющиеся (кривизна линий тока и живых сечений незначительны);

2) резко изменяющиеся (в противном случае).

Если движение плавно изменяющееся, то живые сечения потока можно считать плоскими, а давление в них гидростатическим.

Напорным называется такое движение жидкости, при котором свободная поверхность потока отсутствует.

При безнапорном движении жидкости поток имеет свободную поверхность, давление на которой постоянно.

Часть периметра живого сечения χ, соприкасающаяся с твердыми стенками, называется смоченным периметром.

Отношение площади живого сечения ω к смоченному периметру χ называется гидравлическим радиусом (не путать с геометрическим):

R = ω / χ.

Расходом называется объем жидкости, проходящий через живое сечение потока в единицу времени:

Q = W / T.

Отношение расхода к площади живого сечения называется средней (фиктивной) скоростью:

V = Q / ω.

При равномерном или плавно изменяющемся движении расход через все живые сечения потока постоянен:

Q = V ₁ ω₁ = V ₂ ω₂ = …= const. (4)

Уравнение (4) называется уравнением неразрывности в гидравлической форме.

При равномерном или плавно изменяющемся движении для двух расчетных сечений потока имеет место уравнение Бернулли:

α₁ V ₁² p ₁ α₂ V ₂² p ₂

+ + z ₁ = + + z ₂ + h _тр , (5)

2 g γ 2 g γ

где α₁, α₂ – коэффициенты кинетической энергии; V ₁, V ₂ – средние скорости; p ₁, p ₂ – давления; z ₁, z ₂ – расстояния от выбранной горизонтальной плоскости сравнения до точек сечений, соответствующих давлениям p ₁, p ₂; h _тр – потеря энергии (напора) при перемещении единицы веса жидкости из первого расчетного сечения во второе.

Величина h _тр может быть найдена только после выяснения механизма работы сил трения, зависящих от режима движения жидкости.

Существуют два различных режима движения – ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме движение жидкости носит слоистый характер, перемешивание слоев отсутствует.

Турбулентный режим характеризуется интенсивным перемешиванием жидкости, ее частицы движутся хаотично по самым разнообразным траекториям.

Режим движения определяют по значению числа Рейнольдса:

Re = Vd /ν,

где V – средняя скорость; d – внутренний диаметр трубы; ν – кинематический коэффициент вязкости жидкости.

Если Re < 2300, то режим движения – ламинарный. При Re > 2300 – турбулентный.

При движении вязкой жидкости возникают потери напора (энергии), обусловленные работой сил трения (гидравлическими сопротивлениями).

Принято различать два вида потерь напора:

- потери напора по длине потока h_l, равномерно распределенные по его длине;

- местные потери напора h _М, сосредоточенные в местах резкого изменения конфигурации стенок ограничивающих поток.

Потери напора по длине при равномерном движении жидкости находятся по формуле Дарси-Вейсбаха:

h_l = l (l/d) V ²/(2 g), (6)

где l – безразмерный гидравлический коэффициент трения.

В общем случае гидравлический коэффициент трения есть функция от числа Рейнольдса и относительной шероховатости:

l = f (Re, D/ d),

где D – эквивалентная абсолютная шероховатость.

Величину l обычно вычисляют по следующим формулам:

1) при ламинарном режиме движения (Re < 2300) формула Пуазейля

l = 64/Re,

2) в области гладкостенного трения (4000< Re < 20 d /D) формула Блазиуса

l = 0,3164 Re ^{– 0,25},

3) в области доквадратичного трения (20 d /D< Re <500 d /D) формула Альтшуля

l = 0,11 (68/Re + D/ d) ^0,25, (7)

4) в области квадратичного трения (Re > 500 d / D) формула Шифринсона

l= 0,11 (D / d) ^0,25.

Если 2300< Re <4000, то устойчивых значений гидравлическо­го коэффициента трения не существует (нерасчетная область трения).

Формулу Альтшуля (7) можно применять для любой области трения при турбулентном режиме движения.

Потери напора на местных сопротивлениях определяют по формуле Вейсбаха

h _М= ζ _М V ²/(2 g), (8)

где ζ _М– коэффициент местного сопротивления; V – средняя скорость после местного сопротивления, либо перед ним.

В области квадратичного трения коэффициенты местных сопротивлений не зависят от режима движения жидкости, а полностью определяются типом местного сопротивления.

Если в системе имеется несколько местных сопротивлений и расстояния между ними не превосходят (20…30) d, то суммарные потери напора в системе находятся по формуле

h _тр = h_l + Σ h _М. (9)

При истечении жидкости через отверстия различают малые и большие отверстия. Отверстие считается малым, если его вертикальный размер мал по сравнению с напором над центром отверстия (a <0,1H).

Отверстием в тонкой стенке называется отверстие с острой кромкой.

Расход через малое отверстие в тонкой стенке находится по формуле

Q = µ₀ω Ö2 gH, (10)

где µ₀ – коэффициент расхода отверстия; ω – площадь поперечного сечения отверстия; H – напор над центром отверстия. Скорость истечения при этом составляет V = φ₀Ö2 gH, где φ₀ – коэффициент скорости.

В области квадратичного трения коэффициенты расхода и скорости не зависит от режима движения жидкости. Для маловязких жидкостей, таких как вода, µ₀ = 0,62, φ₀ = 0,97.

Насадком называется короткая труба длиной (3…4) d, присоединяемая к отверстию. Расход через насадок находится по формуле (9), где коэффициент расхода µ_Н = 0,82.

 

Задача 3. По трубопроводу диметром d = 150 мм протекает керосин с расходом Q = 30 л/с. Коэффициент кинематической вязкости керосина

ν = 0,023 см²/с. Абсолютная шероховатость стенок трубы Δ = 0,15 мм. Установить режим движения жидкости, определить гидравлический коэффициент трения λ и потери напора на длине 100 м.

Решение. Площадь живого сечения трубы:

ω = π d ² / 4 = 3,14·0.15² / 4 = 0,018м².

Средняя скорость движения керосина:

V = Q / ω =0,030 /0,018 = 1,7 м / с.

Число Рейнольдса:

Re = Vd /ν = 1,7· 0,15 /0,023· 10⁴ = 110870 > 2300 – турбулентный режим.

Определим область трения:

d /Δ = 0,15/0,00015 = 1000.

20 d /Δ = 20000; 500 d /Δ = 500000,

Таким образом,

1000 < Re = 110870 < 500000,

что соответствует доквадратичной области трения, поэтому λ определяем по формуле Альтшуля (7):

 

 

l = 0,11 (68/Re + D/ d) ^0,25 = = 0,11 (0,001 + 68 / 110870) ^0,25 = 0,022.

Потери напора на длине 100 м составят:

h_l = l (l/d) V ²/(2 g) = 0,022·(100/0,15)·1,7² /(2·9,81) = 2,2 м.