Граничные условия для векторов электромагнитного поля

 

Поверхности физических тел являются границами, разделяющими среды с различными свойствами, например, воздух – поверхность моря или земли, металл – диэлектрик. Будем изучать поля непосредственно вблизи таких поверхностей, т.е. в областях, где параметры среды σ, ε, μиспытывают скачок (рис.1.6). Например, на границе раздела воздуха (I среда) и морской воды (II среда) относительная диэлектрическая проницаемость меняется скачком от ε₁=1 до ε₂=80, а удельная проводимость от σ₁≈0 до σ₂=4 См/м.

Рисунок 1.6 – Граница раздела двух сред

 

Этот скачкообразный характер изменения параметров сред нарушает непрерывность изменения векторов ЭМП. Дифференциальные уравнения как основной вычислительный аппарат на границе раздела двух сред теряют смысл, так как здесь производные обращаются в бесконечность. Поэтому уравнения Максвелла дополняют граничными условиями, которые определяют поведение векторов поля при переходе через поверхность раздела сред. Для нахождения граничных условий векторы ЭМП у границы раздела сред раскладывают на тангенциальные и нормальные составляющие. Например, вектор напряженности электрического поля можно представить в виде (рис.1.7):

, (1.16)

Рисунок 1.7 – Представление вектора нормальной и тангенциальной

составляющими

Воспользовавшись уравнениями Максвелла в интегральной форме, определяют граничные условия отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей. Затем для получения полного вектора поля у границы раздела эти составляющие складывают.

Опуская вывод, запишем граничные условия отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих. Так, для нормальных составляющих вектора

(1.17)

где ρ_S- поверхностная плотность заряда на границе раздела сред.

Из (1.17) следует, что нормальная составляющая вектора электрического смещения при переходе через границу раздела сред претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда на этой границе. Физически это объясняется так. Поверхностный заряд создает (рис. 1.8) в I и II средах электрическое поле, которое в одной сфере усиливает, а в другой ослабляет внешнее поле.

При ρ_S=0 соотношение (1.17) примет вид: , т.е. нормальная составляющая вектора D на границе раздела сред непрерывна.

 

Рисунок 1.8 – Граничные условия для вектора при ρ_S≠0

Граничное условие для нормальной составляющей вектора магнитной индукции имеет вид

или . (1.18)

 

Из (1.18) следует, что нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе раздела сред всегда непрерывна.

Для тангенциальных (касательных) составляющих векторов и граничные условия запишутся:

 

(1.19)

или (1.20)

 

Из (1.19) видно, что тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля при переходе через границу раздела сред претерпевает скачок, численно равныйнормальной составляющей линейнойплотности поверхностного тока, текущего на границераздела .

Физически это объясняется тем, что поверхностный ток создает в средах тангенциальную составляющую напряженности поля (рис.1.9), которое в одной среде усиливает, а в другой – ослабляет напряженность внешнего магнитного поля.

 

 

Рисунок 1.9 – Граничные условия для вектора при наличии

поверхностного тока

 

Выражение (1.20) указывает на непрерывность тангенциальной составляющей напряженности электрического поля.

В заключение приведем полную систему граничных условий на границе раздела двух сред:

 

; ;

(1.21)

; .

Часто на пути распространения ЭМВ встречаются хорошо проводящие металлические поверхности: борт самолета и корабля, антенна РЛС, стенка волновода и т.д. Металлические поверхности существенно влияют на распространение ЭМВ. Можно показать, что внутри проводника (II среда) электромагнитное поле не существует(рис.1.10).

І среда – воздух σ1=0

II среда – металлσ₂= ∞

 

Рисунок 1.10 – Граница раздела сред: воздух – идеальный проводник

 

Учитывая этот факт, выражения (1.21) перепишутся так:

 

; ; (1.22)

; .

Из (1.22) следует, что на поверхности идеального проводника тангенциальная (касательная) составляющая электрического поля отсутствует (граничное условие Дирихле), а для магнитного поля та же составляющая максимальна (граничное условие Неймана).Эти условия иллюстрирует рис.1.11.

 

 

 

Рисунок 1.11 – Картина силовых линий векторов ЭМП на границе раздела воздух – идеальный проводник

 

Напомним, что вектор плотности поверхностного тока связан с тангенциальной составляющей векторным произведением (правый винт):

, (1.23)

т.е. если вращать винт по кратчайшему расстоянию от к , то его поступательное движение будет совпадать с направлением
вектора .

Знание поведения векторов ЭМП на поверхности идеального проводника необходимо в дальнейшем для понимания физической сущности процесса распространения электромагнитной энергии в металлических волноводах, проводящих средах и др.