Четвертое уравнение Максвелла

Применив теорему Остроградского – Гаусса к (1.9), получим дифференциальную форму записичетвертого уравнения Максвелла

(1.13)

Физический смысл четвертого закона состоит в том, что магнитные силовые линии нигде не начинаются и не кончаются: они или замкнуты или уходят в бесконечность.

Уравнения Максвелла можно записать с помощью дифференциального оператора набла :

1. 3.

(1.14)

2. 4.

Для прямоугольной системы координат дифференциальный оператор набла имеет вид:

С помощью электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве в виде электромагнитных волн, можно передавать информацию. Тогда комплексные векторы , , , должны меняться во времени в соответствии с передаваемым сигналом, который, зачастую, меняется во времени по гармоническому закону. Эта ситуация характерна для радиоэлектронных средств, работающих с гармоническими монохроматическими сигналами. Тогда применительно к гармоническим электромагнитным полям (случайкомплексных амплитуд), учитывая, что получим уравнения Максвелла для комплексных амплитуд поля

rot = jω +

rot = -jω

div = (1.15)

div = 0.

С математической точки зрения уравнения Максвелла представляют собой систему дифференциальных уравнений, куда входят пять векторных и одна скалярная функции: , , , , и ρ.

Для их отыскания необходимо иметь шесть независимых уравнений. Можно показать, что третье уравнение Максвелла является следствием второго. Тогда система уравнений Максвелла содержит лишь три независимых уравнения (два векторных и одно скалярное), т.е. является неполной. Поэтому ее дополняют тремя материальными уравнениями (1.4).

В заключение отметим, что каждое векторное уравнение можно представить в виде трех скалярных уравнений.